einheiten bestimmen

09.11.2010, 19:43

Riemannson

einheiten bestimmen

hallo zusammen,

ich soll alle einheiten in

$\begin{eqnarray*} <br /> \mathbb Z[\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}]<br /> \end{eqnarray*}$

bestimmen! doch fehlt mir jeder ansatz..... verwirrt

09.11.2010, 19:54

Riemannson

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einheiten sind doch die elemente, die ein inverses in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[\sqrt3] \end{eqnarray*}$ besitzen...doch wie sieht diese menge eigentlich aus ist das $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[\sqrt3]=\begin{Bmatrix}a+b\sqrt3 : a,b \in \mathbb Z\end{Bmatrix} \end{eqnarray*}$

10.11.2010, 20:31

Riemannson

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kann das sein dass es nur 1 und -1 ist?

13.11.2010, 18:56

Riemannson

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den ersten post bitte vergessen ich meine $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[\sqrt -3] \end{eqnarray*}$ !

13.11.2010, 18:59

lgrizu

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Zitat:

Original von Riemannson
kann das sein dass es nur 1 und -1 ist?

jap, kann es, den beweis kann man über die normen führen Augenzwinkern

13.11.2010, 19:06

Riemannson

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super ich danke dir!!

14.11.2010, 10:34

Riemannson

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alle einheiten in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ sind dann $\begin{eqnarray*} 1,-1,i,-i \ \ und \ \ \lbrace x \in \mathbb C : x \cdot \overline {x} =1 \rbrace, \ \ \overline x \end{eqnarray*}$ ist dann die komplex konjugierte zahl zu x!

Stimmt das?

14.11.2010, 11:15

Riemannson

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...und in dem Ring vom ersten Post sind es doch auch nur 1 und -1 oder?

14.11.2010, 11:22

lgrizu

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Zitat:

Original von Riemannson
alle einheiten in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ sind dann $\begin{eqnarray*} 1,-1,i,-i \end{eqnarray*}$
das ist richtig.....

[quote]Original von Riemannson
$\begin{eqnarray*} \lbrace x \in \mathbb C : x \cdot \overline {x} =1 \rbrace, \ \ \overline x \end{eqnarray*}$ ist dann die komplex konjugierte zahl zu x!

die menge aller x aus C für die gilt $\begin{eqnarray*} x \cdot \overline x=1 \end{eqnarray*}$ sind einheiten...? verwirrt

mach dir da noch mal gedanken drüber....

betrachte einmal:

$\begin{eqnarray*} ||z|| \cdot ||z^{-1}||=1 \Rightarrow |z|^2 \cdot |z^{-1}|^2=1 \end{eqnarray*}$

14.11.2010, 11:53

Riemannson

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mhh..ich sehe nicht direkt ein problem beispielsweise ist $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3 i}{2} \end{eqnarray*}$ eine einheit in $\begin{eqnarray*} \mathbb C, \ \ da \ \ \overline x \in \mathbb C \ \ und \ \ x \cdot \overline x = 1 \end{eqnarray*}$ oder irre ich?

14.11.2010, 11:57

lgrizu

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deine aussage sagt so ungefähr das gleiche wie die aussage, dass die menge aller x aus C für die gilt $\begin{eqnarray*} \overline{x}=x^{-1} \end{eqnarray*}$ gilt sind einheiten.....

für einheiten gilt doch, dass es multiplikativ inverse gibt, nun hat jedes element in C ein multiplikativ inverses, nicht nur die, bei denen zufällig das konjugierte auch das inverse ist....

14.11.2010, 12:08

Riemannson

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also gibt es mehr einheiten, als nur die x mit den komplex konjugierten x, so z.B. 0,5 und 2... richtig?

14.11.2010, 12:10

lgrizu

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richtig, 0,5 und 2 sind invers zueinander....

nun betrachte doch mal:

$\begin{eqnarray*} ||z|| \cdot ||z^{-1}||=1 \Rightarrow |z|^2 \cdot |z^{-1}|^2=1 \end{eqnarray*}$

welches ist das inverse zu z ?

14.11.2010, 12:16

Riemannson

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$\begin{eqnarray*} z^{-1} \end{eqnarray*}$ für das obige implikation gilt verwirrt

14.11.2010, 12:30

lgrizu

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na, jetzt setz halt mal ein....

$\begin{eqnarray*} z=a+bi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z^{-1}=m+ni \end{eqnarray*}$

also ist $\begin{eqnarray*} ||z|| \cdot ||z^{-1}||=?? \end{eqnarray*}$

14.11.2010, 12:32

Riemannson

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$\begin{eqnarray*} = \sqrt {a^2+b^2} \cdot \sqrt {m^2+n^2} \end{eqnarray*}$

14.11.2010, 12:36

lgrizu

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Zitat:

Original von Riemannson
$\begin{eqnarray*} = \sqrt {a^2+b^2} \cdot \sqrt {m^2+n^2} \end{eqnarray*}$

miep, falsch....

die norm ist der betrag der komplexen zahl quadriert...

mir ist aber auch gerade eingefallen, wir müssen das gar nicht über die normen machen, betrachte einfach mal

$\begin{eqnarray*} (a+bi)(m+ni)=1 \end{eqnarray*}$ und löse das nach (a+bi) auf....

14.11.2010, 12:42

Riemannson

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$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{(m+ni)}=\frac{(m-n)i}{m^2+n^2} \end{eqnarray*}$

14.11.2010, 12:45

lgrizu

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Zitat:

Original von Riemannson
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{(m+ni)}=\frac{(m-n)i}{m^2+n^2} \end{eqnarray*}$

wieso steht das i ausserhalb der klammer?

richtig ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{(m-ni)}{m^2+n^2} \end{eqnarray*}$ .

nun noch argumentieren, sind die zahlen dieser form in C ?

wenn ja, wie schauen also deine einheiten aus?

wie viele sind es?

...es ist eigentlich trivial....

14.11.2010, 12:52

Riemannson

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also in C sind diese und alle einheiten müssen als inverses so aussehen wie oben, doch wie viele sind es?

14.11.2010, 12:57

Riemannson

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mir ist gerade aufgefallen in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[\sqrt 3] \end{eqnarray*}$ muss es mehr als nur 1 und -1 als einheiten geben!

14.11.2010, 13:01

lgrizu

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es sind unendlich viele....

ist ja auch klar, wir betrachten einmal

$\begin{eqnarray*} z=m+ni ,m,n \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ das inverse dazu ist $\begin{eqnarray*} z^{-1}=\frac{m}{m^2+n^2}-\frac{n}{m^2+n^2}i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m,n \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ sind auch $\begin{eqnarray*} \frac{m}{m^2+n^2},\frac{n}{m^2+n^2} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , also hat jedes element aus C ein inverses in C, also unendlich viele einheiten...

14.11.2010, 13:03

lgrizu

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Zitat:

Original von Riemannson
mir ist gerade aufgefallen in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[\sqrt 3] \end{eqnarray*}$ muss es mehr als nur 1 und -1 als einheiten geben!

das stimmt, in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \left[ \sqrt{3} \right] \end{eqnarray*}$ gibt es unendlich viele einheiten, das kann man über die normen machne, muss man hier auch....

aber $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \left[ \sqrt{3}i \right] \end{eqnarray*}$ hat nur die einheiten 1 und -1....

und das wolltest du am anfang doch wissen...

Zitat:

Original von Riemannson
den ersten post bitte vergessen ich meine $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[\sqrt -3] \end{eqnarray*}$ !

14.11.2010, 13:05

Riemannson

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ahh...super danke!! aber kurz zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[\sqrt 3] \end{eqnarray*}$ es muss eine einheit geben die keine torsionseinheit ist! 1 und -1 sind aber beide torsionseinheiten!

14.11.2010, 13:06

Riemannson

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uups mist ich meinte eigentlich $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[\sqrt 3] \end{eqnarray*}$ sorry!

14.11.2010, 13:08

lgrizu

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ja, die gibt es, wie weit kommst du denn mit den normen, nimm dir zwei zahlen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[\sqrt 3] \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} a+b \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m+n\sqrt 3 \end{eqnarray*}$ und bestimme das produkt der normen dieser beiden zahlen....

14.11.2010, 13:13

Riemannson

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das wäre $\begin{eqnarray*} |(a^2-3b^2)||(m^2-3n^2)| =|a^2m^2-3a^2n^2-3m^2b^2+9n^2b^2| \end{eqnarray*}$ oder?

14.11.2010, 13:28

lgrizu

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lass das mal folgendermaßen stehen:

$\begin{eqnarray*} (a^2-3b^2)(m^2-3n^2) \end{eqnarray*}$ .

wir nehmen nun an, dass $\begin{eqnarray*} s=a+bi \end{eqnarray*}$ eine einheit in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z [ \sqrt{3} ] \end{eqnarray*}$ ist.

nun ist sicherlich $\begin{eqnarray*} ||s|| \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ||s^{-1}|| \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , also folgt $\begin{eqnarray*} ||s|| \in \left\{1,-1 \right\} \end{eqnarray*}$

jetzt musst du dir überlegen, wie die elemente aussehen, die dies erfüllen...

14.11.2010, 13:29

Riemannson

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mal kurz in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[\sqrt 3] \end{eqnarray*}$ sind 1 und -1 alle Torsionseinheiten und z.B. $\begin{eqnarray*} 2+\sqrt 3 \end{eqnarray*}$ ist keine, aber es ist eine einheit...richtig?

14.11.2010, 13:30

lgrizu

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Zitat:

Original von Riemannson
mal kurz in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[\sqrt 3] \end{eqnarray*}$ sind 1 und -1 alle Torsionseinheiten und z.B. $\begin{eqnarray*} 2+\sqrt 3 \end{eqnarray*}$ ist keine, aber es ist eine einheit...richtig?

jap, man kann auch leicht prüfen, dass $\begin{eqnarray*} (2+\sqrt3)(2- \sqrt3)=1 \end{eqnarray*}$ , also einheit, wie schauen die potenzen von $\begin{eqnarray*} (2+\sqrt3) \end{eqnarray*}$ aus?

14.11.2010, 13:32

Riemannson

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super und da für $\begin{eqnarray*} z=\pm 1 \ \ gilt \ \ z=\overline z \end{eqnarray*}$ sind 1 und -1 die einzigen...so sollte es doch klappen oder?

14.11.2010, 13:37

lgrizu

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okay, ich glaube, ich habe bei der ganzen aufgabe zu weit ausgeholt...

zum mitschreiben:

du sollst eine einheit in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[\sqrt3] \end{eqnarray*}$ finden, die keine torsionseinheit ist ?

du sollst nicht zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[\sqrt3] \end{eqnarray*}$ unendlich viele einheiten hat ?

14.11.2010, 13:54

Riemannson

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okay eigentlich sollte ich alle torsionseinheiten finden und eine die keine ist...daher denke ich hast du doch ganze arbeit geleistet! und um zu wissen dass 1 und -1 alle torsionseinheiten sind muss man ja auch alle anderen einheiten betrachten um keine weitere torsionseinheit zu übersehen

14.11.2010, 14:01

Riemannson

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...und ich hatte am anfang noch $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[\frac{-1+\sqrt-3}{2}] \end{eqnarray*}$ ins spiel gebracht und hier sind die einzigen einheiten auch +1 und -1 weil sonst die norm nicht 1... ich hoffe auch hier klappt das so...

14.11.2010, 14:02

lgrizu

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okay, hast du noch fragen, anregungene, kritik? Augenzwinkern

14.11.2010, 14:07

Riemannson

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alles wunderbar! danke nochmal.....

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