Komplexe Zahl

14.11.2006, 16:09

Bassmarian

Komplexe Zahl

2) Gegeben Sei die komplexe Zahl
$\begin{eqnarray*} z = ( \sqrt{3}/2) + 1/2i)^{200} \end{eqnarray*}$
und skizzieren Sie diese in der komplexen Zahlenebene.

weiß jemand wie das geht?

14.11.2006, 16:13

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Da fehlt irgendeine öffnende Klammer...

Ich nehme an, du meinst

$\begin{eqnarray*} z = \left( \frac{\sqrt{3}+i}{2} \right)^{200} \end{eqnarray*}$ .

Es hilft enorm, wenn du zur Exponentialdarstellung der Basis $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{3}+i}{2} \end{eqnarray*}$ übergehst.

14.11.2006, 16:16

Bassmarian

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oh hast recht!

also so stehts aufm zettel:
$\begin{eqnarray*} z = ( \sqrt{3}/2 + 1/2i)^{200} \end{eqnarray*}$

14.11.2006, 16:43

Lazarus

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ja genau das hat Arthur doch gesagt. du hast im ersten post eine "klammer zu" zu viel, deswegen.

Dann wende doch mal bitte den tipp von Arthur an Augenzwinkern

15.11.2006, 19:47

Bassmarian

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mh......?

irgendwie kann ich mit dem tipp nix anfangen!

15.11.2006, 20:21

Mathespezialschüler

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Kennst du die Exponential- oder auch die Polarform von komplexen Zahlen?

Gruß MSS

21.12.2006, 00:53

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Tach ich bin Bach,

Der Threadersteller scheint ja wohl kein Interesse an der Aufgabe/Lösung zu haben, deswegen versuch' ich's mal.

ZT-CN-3:

$\begin{eqnarray*} z = \left( \frac{\sqrt{3}+i}{2} \right)^{200}=e^{10^2\cdot{\frac{\pi}{3}\cdot{i}}} \end{eqnarray*}$

Aber inwiefern bringt mir die Exponentialdarstellung jetzt was?

Wie skizziert man das jetzt in der komplexen Zahlenebene, wenn $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ nicht in der Form $\begin{eqnarray*} a+bi \end{eqnarray*}$ vorliegt?

Mein erster Gedanke wäre, das ganze jetzt einfach rückwärts (gibt's da 'n Fachwort für? rücktransformieren?) zu machen.

Also: $\begin{eqnarray*} r=|z| \end{eqnarray*}$ bleibt $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ wäre dann $\begin{eqnarray*} arccos(x)=10^2\cdot{\frac{\pi}{3}} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aufgelöst. Aber kann ich wirklich nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aufösen? Wenn ja, wie? verwirrt

Ach, ich weiss auch nicht recht. Hoffe ihr könnt mir helfen. Danke!

21.12.2006, 01:06

tigerbine

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Ach, jetzt auch noch Musiker?

$\begin{eqnarray*} z_{200}:=(z)^{200} = (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i)^{200} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |z|=\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{4}{4}}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi = 30° = \frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$

Was passier bei der Muliplikation von komplexen Zahlen in der Polarkoordianten Darstellung?

- Winkel werden addiert
- Beträge mulpipliziert

21.12.2006, 01:09

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Erstmal zu deiner 1. Zeile.. du hast die Aufgabe irgendwie falsch gelesen...

Dann zum Musiker.. was meinst du, TigerbiRne? ( Big Laugh

)

21.12.2006, 01:09

tigerbine

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Das Fallobst hat seinen Betrag schon editiert! Big Laugh

21.12.2006, 01:13

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Ich merk schon. Augenzwinkern

Dein $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist irgendwie doof.

Es ist doch $\begin{eqnarray*} \varphi=arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$ !

Edit: Ach, das hast du ja jetzt auch noch editiert .^^

Zitat:

Was passier bei der Muliplikation von komplexen Zahlen in der Polarkoordianten Darstellung?

- Winkel werden addiert
- Beträge multipliziert

Ja, aber soll ich 5000 Striche in die Ebene malen? Ich muss doch die komplexe Zahl berechnen..

21.12.2006, 01:16

tigerbine

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Schau mal, jetzt hab ich das $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ auch noch geändert. Zunge

21.12.2006, 01:19

tigerbine

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5000 ist ja leicht übertrieben Augenzwinkern

wir brauchen doch nur wieder 2 Angaben:

- Betrag
- Winkel

Nun gut, der Betrag ist hier echt schwierig. Ohne DualCore Prozessor eigentlich nicht zu berechnen traurig

$\begin{eqnarray*} |z_{200}| = |z|^{200} = 1^{200} \end{eqnarray*}$

21.12.2006, 01:24

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Ich hab' jetzt meinen neuen 1028-Bit Quatro-Core Prozessor angeschmissen und er sagt $\begin{eqnarray*} 1^{200} \end{eqnarray*}$ sein gleich $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ..

Aber ist das die Lösung meines Problems, Tigerbirne?

Sorry, wenn ich das gerade total verhaue, aber das ist erst meine 3. Aufgabe zu komplexen Zahlen. Hammer

21.12.2006, 01:31

tigerbine

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Puh, na der Rest dürfe einfacher sein Augenzwinkern

Wir brauchen ja noch den Winkel:

$\begin{eqnarray*} \varphi_{200} = 200 \cdot \varphi = 200 \cdot \frac{\pi}{6} = ? \end{eqnarray*}$

21.12.2006, 01:34

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Ach Tigi..

(1) Ich schrieb doch im ersten Beitrag, dass $\begin{eqnarray*} |z|=r=1 \end{eqnarray*}$ ist..

und das (2) $\begin{eqnarray*} \varphi=10^2\cdot{\frac{\pi}{3}} \end{eqnarray*}$ ist..

Ich weiss nicht worauf du hinaus willst. Mit Zunge

21.12.2006, 01:42

tigerbine

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Zitat:

Also: $\begin{eqnarray*} r=|z| \end{eqnarray*}$ bleibt $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ wäre dann $\begin{eqnarray*} arccos(x)=10^2\cdot{\frac{\pi}{3}} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aufgelöst. Aber kann ich wirklich nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aufösen? Wenn ja, wie?

Frage 1:

Wie hast Du deinen |z|, was meinem $\begin{eqnarray*} |z_{200}| \end{eqnarray*}$ entspricht denn berechnet, wenn Dir mein Weg so neu war?

Frage 2:

$\begin{eqnarray*} \varphi = 10² \cdot \frac{\pi}{3} = 6.000° \end{eqnarray*}$

Damit bist du ja wohl noch nicht fertig, oder? Schon mal an umrechnung in Winkel zwischen 0 und 360° gedacht?

Frage 3:

Wie löst man arccos(x) nach x auf...Was ist denn die Umkehrfunktion des arccos? Augenzwinkern

21.12.2006, 01:53

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Zitat:

Original von tigerbine
Frage 1:
Wie hast Du deinen |z|, was meinem $\begin{eqnarray*} |z_{200}| \end{eqnarray*}$ entspricht denn berechnet, wenn Dir mein Weg so neu war?

Garnicht. Ich habe angenommen, dass $\begin{eqnarray*} |z|=1 \end{eqnarray*}$ ist, da vor meinem $\begin{eqnarray*} e^{\text{...}} \end{eqnarray*}$ nur 'ne $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ steht. Okay, genau genommen steht da $\begin{eqnarray*} 1^{200} \end{eqnarray*}$ , aber das hab' ich mal lockerflockig ignoriert.

Zitat:

Original von tigerbine
Frage 3:
Wie löst man arccos(x) nach x auf...Was ist denn die Umkehrfunktion des arccos? Augenzwinkern

mit $\begin{eqnarray*} arccos(a)=b \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} cos(b)=a \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} Re(b) \end{eqnarray*}$ zwischen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ liegt.
Aber das ist hier ja problematischerweise nicht der Fall. unglücklich

zu Frage 2: Kein Plan, was du damit meinst. ^^

Edit: Angetrunkene Rechtschreibung.

21.12.2006, 02:03

tigerbine

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Tja, hätte man mal bei dem Schema des Einheitskreises aufgepasst... aber mit den Promille verschwinden auch alle Winkel...

einigen wir uns mal auf einen Winkel von 6000° = 16*360° + 240°, also

$\begin{eqnarray*} \varphi_{200} = 240° \end{eqnarray*}$

In welchem Quadranten mag das jetzt wohl liegen...Im dritten(unten links) Augenzwinkern

Mist...mit dem Zweiten hätten wir besser gesehen böse

So es ist jetzt

$\begin{eqnarray*} |x_{200}| = cos(60°) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |y_{200}| = sin(60°) \end{eqnarray*}$

Mit dem Wissen der Geometrie, ergeben sich die Vorzeichen und Zahlenwerte:

$\begin{eqnarray*} x_{200} = -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{200} = - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

21.12.2006, 02:12

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Zitat:

Original von tigerbine
Mist...mit dem Zweiten hätten wir besser gesehen böse

Da fällt mir ein, die letzte Tatort-Folge im Ersten war total langweilig...
... und Tatort wurde durch den Kriminalisten getoppt.

Zitat:

Original von tigerbine
So es ist jetzt

.. 2 Uhr morgens und ich dachte es wäre kurz vor Mitternacht. böse

Danke Tigerbine,
ich verstehe jetzt was du meinst! Werde es morgen aber nochmal von vorne bis hinten durchrechnen. Ich werd' jetzt schlafen gehen und von den Eisenstein-Zahlen träumen. Gute N8 und träum' was Nettes. Wink

Danke dir. Schläfer

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