Wahrscheinlichkeitsraum

09.11.2010, 19:57

noranz

Wahrscheinlichkeitsraum

Gegeben sein der Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} \left(\Omega,F,P\right) \end{eqnarray*}$ und eine Menge $\begin{eqnarray*} B \in F \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P\left(B\right) > 0 \end{eqnarray*}$ . Sei weiter $\begin{eqnarray*} Q:F\rightarrow\mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert über Q(A)=P(A|B). Zeige, dass $\begin{eqnarray*} \left(\Omega,F,Q\right) \end{eqnarray*}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum ist. Sei $\begin{eqnarray*} C \in F \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} Q\left(C\right) > 0 \end{eqnarray*}$ , zeige, dass $\begin{eqnarray*} Q\left(A|C\right) = P\left(A|B\cap C\right) \end{eqnarray*}$ gilt.

Als erstes verstehe ich schon mal nicht warum es zuerst $\begin{eqnarray*} \left(\Omega,F,P\right) \end{eqnarray*}$ ist und dann $\begin{eqnarray*} \left(\Omega,F,Q\right) \end{eqnarray*}$ ist.
Also um zu zeigen, dass es ein Wkt.-raum ist, muss man doch zeigen, dass (Omega,F) ein Messraum ist und dass P bzw Q ein Wkt.-maß ist, aber ich weiß überhaupt nicht, wie ich das bei der Aufgabe machen soll. Und beim zweiten Teil, weiß ich berhaupt nicht, wie ich das zeigen soll.

09.11.2010, 20:04

René Gruber

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RE: Wahrscheinlichkeitsraum

Zitat:

Original von noranz
Als erstes verstehe ich schon mal nicht warum es zuerst $\begin{eqnarray*} \left(\Omega,F,P\right) \end{eqnarray*}$ ist und dann $\begin{eqnarray*} \left(\Omega,F,Q\right) \end{eqnarray*}$ ist.

$\begin{eqnarray*} \left(\Omega,F,P\right) \end{eqnarray*}$ ist der Wahrscheinlichkeitsraum, von dem du ausgehst. Und $\begin{eqnarray*} \left(\Omega,F,Q\right) \end{eqnarray*}$ ist das Konstrukt, von dem du nachweisen sollst, dass es auch ein Wahrscheinlichkeitsraum ist - steht doch alles da! Du musst es nur lesen.

Dass $\begin{eqnarray*} \left(\Omega,F\right) \end{eqnarray*}$ ein Messraum ist, musst du nicht mehr nachweisen: Das folgt schon allein daraus, dass es Bestandteil des vorausgesetzten W-Raumes $\begin{eqnarray*} \left(\Omega,F,P\right) \end{eqnarray*}$ ist.

Was lediglich nachzuweisen ist: Dass die durch

$\begin{eqnarray*} Q(A) := \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \end{eqnarray*}$

definierte Mengenfunktion auf $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ auch tatsächlich ein W-Maß ist.

09.11.2010, 20:11

noranz

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Und wie zeige ich das? Ich verstehe das alles nicht wirklich?

09.11.2010, 20:14

René Gruber

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Ich werde jetzt bestimmt nicht die Axiome eines W-Maßes herbeten, schlag sie doch selber nach. Und diese dann Punkt für Punkt abarbeiten.

09.11.2010, 20:25

noranz

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Ich kenne die Axiome schon, nur ich weiß nicht, wie ich sie in diesem Fall anwenden soll.

09.11.2010, 20:28

René Gruber

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Die von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ nutzen, um die von $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ nachzuweisen, das sollte doch jetzt langsam mal klar sein.

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