Potenzen in R

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09.11.2010, 20:05	kosza	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzen in R Meine Frage: Beweisen Sie (für den Körper der reellen Zahlen) den folgenden Satz: (a) Ist b eine positive reelle Zahl mit b > 1, so gibt es zu jedem K > 0 ein N element N mit b^n > K für alle n element N. (b) Ist b eine positive reelle Zahl mit b < 1, so gibt es zu jedem " > 0 ein N element N mit b^n < E (elipson) für alle n element N. Meine Ideen: Leider habe ich keinen Ansatz, da ich nicht weiß was von mir verlangt wird. Ich bräuchte jegendlich eine Erklärung was man von mir verlangt und evtl einen Ansatz.
09.11.2010, 20:16	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi kosza, du sollst prinzipiell das folgende beweisen: Wenn Du eine reelle Zahl b>1 gegeben hast und ein K>0, so kannst Du b sooft mit sich selber multiplizieren - n-mal -, so dass die Potenz b^n >K ist. Konkretes Beispiel. Du hast b= 2 und K =20. Dann setze z.B. N=5. Dann ist b^N=2^5=32>20 und für alle n>N, also etwa 6,7,8,... sowieso. Und die Teilaufgabe b erhältst Du, wenn zum Reziproken übergehst. Gruß, dr.morrison
09.11.2010, 20:23	kosza	Auf diesen Beitrag antworten »
also kann/ darf ich a über vollstängige Induktion beweisen oder ist das schwachsinn?
09.11.2010, 20:37	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Würde ich nicht über Induktion machen - hattet ihr in der Vorlesung schon die Ungleichung von Bernoulli?
09.11.2010, 20:40	kosza	Auf diesen Beitrag antworten »
ja aber wie ich die darauf anwenden soll das weiß ich erst recht nicht
09.11.2010, 20:45	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, hier mal ein ansatz: Die Bernoullische Ungleichung besagt ja: Sei $\begin{eqnarray} x\geq 1 \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} (1+x)^{n}\geq 1+nx \end{eqnarray}$ für alle natürlichen Zahlen n. Und nun setze einfach mal x+1=b. Was merkst Du?
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09.11.2010, 20:46	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, die Voraussetzung in der Bernoulliungleichung soll natürlich $\begin{eqnarray} x \geq -1 \end{eqnarray}$ heißen.
09.11.2010, 20:51	kosza	Auf diesen Beitrag antworten »
das $\begin{eqnarray} \left(x+1\right)^{n}\geq K \end{eqnarray}$ also die Ungleichung nur statt 1+nx steht K
09.11.2010, 20:56	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Bist auf dem richtigen Weg. Wenn Du nun x+1=b bzw. x= b-1 setzt in der Bernoulliungleichung, dann erhältst Du ja $\begin{eqnarray} b^{n} \geq 1+nx \end{eqnarray}$ . Und das Letzte soll ja jetzt größer als ein beliebig gewähltes K>0 sein. Warum geht das?
09.11.2010, 21:03	kosza	Auf diesen Beitrag antworten »
keine Ahnung vllt weil das nx drinn ist und das größer ist als k K ist ja eine reelle zahl und K>0 ist N und N ist kleiner als n odr wie
09.11.2010, 21:14	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Probier's mal so: Das Archimedische Axiom habt ihr ja wahrscheinlich schon durchgenommen. Was besagt es? Wenn wir eine reelle Zahl x>0 und irgendeine reelle Zahl K, so gibt es immer eine natürliche Zahl n, so dass $\begin{eqnarray} \geq K \end{eqnarray}$ gilt. Nun überlege, dass es analog natürlich auch immer mit (K-1) geht! Das heißt: Zu gegebenem x>0 gibt es immer ein natürliches n, so dass $\begin{eqnarray} nx \geq K-1 \end{eqnarray}$ gilt für gegebenes K. Wenn wir nun dieses n hernehmen, können wir $\begin{eqnarray} b^{n} \geq 1+nx \geq 1+K-1 = K \end{eqnarray}$ folgern. Und je nachdem, wie du n wählst, kannst du auch tatsächlich >K erreichen. Hoffe, das hat dir geholfen. Gruß, dr.morrison
09.11.2010, 21:18	kosza	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja vielen vielen dank und in b ist es dann $\begin{eqnarray} b^{\frac{1}{n} } > elipsion \end{eqnarray}$

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