Kombinatorik

09.11.2010, 20:45	Lise	Auf diesen Beitrag antworten »
Kombinatorik Meine Frage: Hallo an alle, ich habe Probleme mit folgender Aufgabe: Wie viele Möglichkeiten gibt es, 4 weibliche und 2 männliche Meerschweinchen auf 3 verschiedene Käfige zu verteilen, wenn in keinem der Käfige sowohl weibliche als auch männliche Tiere eingeteilt werden. Es ist dabei erlaubt, Käfige gar nicht zu benutzen, und sowohl die Tiere als auch die Käfige sollen unterschieden werden. Die Reihenfolge, mit der die Tiere auf die Käfige verteilt werden, wird nicht berücksichtigt. Meine Ideen: so, also meine 1. Idee war, dass es eine Variation ohne zurücklegen ist. Dies geht aber nicht, da k kleiner n sein muss. So dann habe ich n^k genommen für weibl und männl und dann das produkt --> 3^2*3^4=729 --> das ist aber, glaube ich, wenn man die Meerschweinchen zurücklegen darf. mmhh jemand ne Idee? lg
09.11.2010, 20:57	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Chancen, das mit einer einzigen Anzahlformel zu erledigen, sind äußerst schlecht. Also "Teile und herrsche" - sprich: Fallunterscheidung.
09.11.2010, 21:10	Lise123	Auf diesen Beitrag antworten »
2. Versuch: für die weibchen 2^4 (wobei 4 die anzahl der weibchen und 2 die anzahl der käfige ist) (im dritten sind die männchen). männchen: 2^2 addiert. 2^4+2^2=20. da man auch die käfige unterscheiden soll, muss man noch mit drei multiplizieren, also für (k1,k2)(k1,k3)(k2,k3) also 20*3=60
10.11.2010, 14:03	zui	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei mir ist es so: 1.fall- ein käfig (A,B oder C) ist leer -> 6 Moglichkeiten (4+2+0, 2+4+0, 4+0+2, 2+0+4....) 2.fall - alle käfige sind besetzt 2a-Männchen nur in A ->für weibchen 2^4 möglichkeiten, davon B oder C bleibt leer, wurde schon im 1.Fall berücksichtigt = 2^4-2 möglichkeiten; 2b(c)-Männchen nur in B(C) -> 2^4 möglichkeiten, davon A oder B(C) bleibt leer = 2^4-2 möglichkeiten; 2d,e,f - Weibchen nur in A(B,C) -> 2^2 möglichkeiten, davon je 2 abziehen (ein käfig bleibt leer) Zum addieren: 6 + [14+14+14] + [2+2+2]=54
11.11.2010, 18:15	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
54 ist richtig. Hochtrabend formuliert könnte man das auch mit der Einschluss-Ausschluss-Formel (auch Siebformel genannt) berechnen, angewandt auf die 6 Mengen $\begin{eqnarray} A_1 \end{eqnarray}$ ... alle männlichen, aber keine weiblichen Meerschweinchen sind in Käfig 1 $\begin{eqnarray} A_2 \end{eqnarray}$ ... alle männlichen, aber keine weiblichen Meerschweinchen sind in Käfig 2 $\begin{eqnarray} A_3 \end{eqnarray}$ ... alle männlichen, aber keine weiblichen Meerschweinchen sind in Käfig 3 $\begin{eqnarray} A_4 \end{eqnarray}$ ... alle weiblichen, aber keine männlichen Meerschweinchen sind in Käfig 1 $\begin{eqnarray} A_5 \end{eqnarray}$ ... alle weiblichen, aber keine männlichen Meerschweinchen sind in Käfig 2 $\begin{eqnarray} A_6 \end{eqnarray}$ ... alle weiblichen, aber keine männlichen Meerschweinchen sind in Käfig 3 . Gesucht ist dann nämlich die Anzahl $\begin{eqnarray} n=\|A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4\cup A_5\cup A_6\| \end{eqnarray}$ . Man berechnet leicht $\begin{eqnarray} \|A_1\|=\|A_2\|=\|A_3\| = 2^4 = 16, \quad \|A_4\|=\|A_5\|=\|A_6\| = 2^2 = 4 \end{eqnarray}$ . Von den Zweierdurchschnitten sind nur die folgenden sechs nichtleer - sie bedeuten jeweils, dass ein Käfig leer bleibt: $\begin{eqnarray} \|A_1\cap A_5\| = \|A_1\cap A_6\| = \|A_2\cap A_4\| = \|A_2\cap A_6\| = \|A_3\cap A_4\| = \|A_3\cap A_5\| = 1 \end{eqnarray}$ Dreier- und noch größere Durchschnitte sind offenbar leer. Damit ergibt die Siebformel $\begin{eqnarray} n = 3\cdot 16 + 3\cdot 4 - 6 = 54 \end{eqnarray}$ .

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