Zeigen das Ungleichung scharf, also gleich ist

09.11.2010, 23:14

DerJFK

Zeigen das Ungleichung scharf, also gleich ist

Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} $ Ax = b$ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} $A(x + \delta x) = b + \delta b$ \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie durch geeignete Wahl von x und b, dass die Abschätzung

$\begin{eqnarray*} $\frac {\| \delta x \|_{\infty}}{\| x \|_{\infty}} \le \text{cond}_{\infty}(A) \frac {\| \delta b \|_{\infty}}{\| b \|_{\infty}}$ \end{eqnarray*}$

scharf ist, d.h., dass Gleichheit gilt.

Meine Frage:

ich habe schon mal in den workshops und weiteren dingen im Forum nachgeschaut,... habe auch manche abschätzung gefunden. Aber das hier ist mir nicht klar,...

soll das heißen,.. das der relative eingangsfehler kleiner gleich die Kondition mal dem Ausgangsfehler ist?

weiß grad nicht viel damit anzufangen, hat jemand einen Tipp?

Danke schonmal

09.11.2010, 23:23

tigerbine

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RE: Zeigen das Ungleichung schar, also gleich ist
Andere Notation, aber sollte das gesuchte sein:
[WS] Lineare Gleichungssysteme 1

Es ist nun gefragt, wann/ob Gleichheit gilt. Fehlersymbole bei dir.

Zitat:

Zeigen Sie durch geeignete Wahl von x und b, dass die Abschätzung

09.11.2010, 23:49

DerJFK

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RE: Zeigen das Ungleichung schar, also gleich ist
also den bei dem Link vor dir weiß ich gerade nicht warum aus den beiden

$\begin{eqnarray*} $\| x - \tilde x \| \le \| A^{-1} \| \| b - \tilde b \|$ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} $\frac 1{\| x\|} \le \| A \| \frac 1{\| b \|}$ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} $\Longrightarrow \frac {\| x - \tilde x \|}{\| x \|} \le \| A \| \| A^{-1} \| \frac {\| b - \tilde b \|}{\| b \|}$ \end{eqnarray*}$

das folgt

Geht es in der Aufgabe nur darum, heraus zu finden unter welchen Umständen gleich statt ungleich gilt?

09.11.2010, 23:53

tigerbine

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RE: Zeigen das Ungleichung schar, also gleich ist
Es stehen dort nur positive ausdrücke. Ich könnte also beide Seiten der ersten Gleichung mit 1/||x|| multiplizieren. Nun kann ich aber auch die rechte Seite mit einer ggf. größeren Zahl multiplizieren.

Dir ist die Gleichung gegeben, so wie ich die Angabe verstehe, sollst du sagen, wann Gleichheit gilt.

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