Beweis über vollst. Induktion

10.11.2010, 09:17

d4rk

Beweis über vollst. Induktion

Meine Frage:
Zeigen sie für alle n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n!\leq \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe die Formel mittlerweile tausendmal umgeformt, aber ich komm auf keinen grünen Zweig.

Jemand mehr Ahnung?

10.11.2010, 09:28

lgrizu

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RE: Beweis über vollst. Induktion
Induktionsanfang hast du?

...dann zum schluss:

betrachte $\begin{eqnarray*} (n+1)!=(n+1) \cdot n! \leq_{n.V.} (n+1) \cdot \frac{(n+1)^n}{2^n} \end{eqnarray*}$ .

nun ein bissel umformen und ein wenig argumentieren....

10.11.2010, 09:46

d4rk

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RE: Beweis über vollst. Induktion
also den anfang habe ich schon, das ist ja kinderkram.

und so weit wie du war ich auch Augenzwinkern

aber wie hast du denn hier umgeformt?

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{(n+1)+1}{2} \right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

zu

$\begin{eqnarray*} \left(n+1\right) \cdot \frac{\left(n+1\right)^{n} }{2^{n} } \end{eqnarray*}$

bin grade etwas festgefahren Augenzwinkern

10.11.2010, 09:53

lgrizu

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RE: Beweis über vollst. Induktion

Zitat:

Original von d4rk
also den anfang habe ich schon, das ist ja kinderkram.

und so weit wie du war ich auch Augenzwinkern

ich habe gar nichts umgeformt, ich habe erst einmal die vorraussetzung benutzt.

wenn du induktion machst ist es völlig falsch, einfach auf beiden seiten alle n durch n+1 zu ersetzen.
es ist auch, wioe sich leicht nachrechnen lässt $\begin{eqnarray*} \left(\frac{(n+1)+1}{2} \right)^{n+1}=\frac{(n+2)^{n+1}}{2^{n+1}} \neq \left(n+1\right) \cdot \frac{\left(n+1\right)^{n} }{2^{n}}=\frac{(n+1)^{n+1}}{2^n} \end{eqnarray*}$

diesen ausdruck:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{(n+1)+1}{2} \right)^{n+1} \end{eqnarray*}$ haben wir noch gar nicht, wir wollen doch zeigen, dass, wenn

$\begin{eqnarray*} n!\leq \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n} \end{eqnarray*}$ gilt auch

$\begin{eqnarray*} (n+1)!\leq \left(\frac{n+2}{2}\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$ .....

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