LGS mit 3 Variablen (Determinante)

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10.11.2010, 12:03	kiwi1990	Auf diesen Beitrag antworten »
LGS mit 3 Variablen (Determinante) Folgender Sachverhalt: Ich habe eine Aufgabe mit 3 unbekannten Variablen zu lösen. $\begin{eqnarray} x+y+z=8 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3x+2y+z=49 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 5x-3y+z=0 \end{eqnarray}$ Jetzt muss ich ja Determinaten bilden, also: $\begin{eqnarray} D=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 5 & -3 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} D_{x}=\begin{vmatrix} 8 & 1 & 1 \\ 49 & 2 & 1 \\ 0 & -3 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Und nun kommt mein Problem. Ich hab überhaupt keine Ahnung wie ich $\begin{eqnarray} D_{y} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} D_{z} \end{eqnarray}$ lösen soll.
10.11.2010, 12:06	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LGS mit 3 Variablen (Determinante) Du kannst dies mithilfe von Matrizen und Determinaten lösen, es geht aber auch mit dem Additionsverfahren. Du besitzt 3 Gleichungen für 2 Unbekannte, das reicht völlig aus. Im Moment fehlt bei deiner Gleichung die Unbekannte z.
10.11.2010, 12:07	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LGS mit 3 Variablen (Determinante) Wo ist denn die Variable z geblieben? Und was verstehst du unter "lösen"? Ich würde erstmal die Determinanten hinschreiben.
10.11.2010, 12:11	kiwi1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist mein Problem. Die Determinanten zu bilden. Den Rest kann ich. Wir sollen es nur mit Determinanten machen und nicht mehr mit Addition usw.! "Die könnte ihr ab sofort alle getrost vergessen."
10.11.2010, 12:16	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
Um die Determinante D_x zu berechnen, lässt man die Spalte in der die Unbekannte x vorkommt weg, bei D_y die Spalte von y und bei D_z natürlich die Spalte z. So jetzt erstmal die richtigen Gleichungen: $\begin{eqnarray} x+y+z=8<br /> 3x+2y+z=49<br /> 5x-3y+z=0 \end{eqnarray}$ Um die Determinante D_y zu beschreiben, lassen wir y aus den Gleichungen raus. $\begin{eqnarray} D_y=\begin{vmatrix}<br /> 1 &1 &8\\<br /> 3 &1 &49\\<br /> 5 &1 &0\\<br /> \end{vmatrix} \end{eqnarray}$
10.11.2010, 12:23	kiwi1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast einen Fehler in der Aufgabe. Habe oben korrigiert. Es ist nicht 2z sondern nur z. Demnach habe ich für y = -286?
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10.11.2010, 12:26	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe den Fehler korrigiert und hoffe du weißt jetzt wie man Determinanten aufstellt. Die Lösungen der Gleichungen entstehen durch: $\begin{eqnarray} x=\frac{1}{det D}\cdot D_x<br /> y=\frac{1}{det D}\cdot D_y<br /> z=\frac{1}{det D}\cdot D_z \end{eqnarray}$
10.11.2010, 12:39	kiwi1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap, danke. Kannst du trotzdem mal bitte gucken und ggf. korrigieren? $\begin{eqnarray} D_{y} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 8 \\ 3 & 1 & 49 \\ 5 & 1 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 1 \begin{vmatrix} 1 & 49 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} -1 * \begin{vmatrix} 3 & 49 \\ 5 & 0\end{vmatrix} + 1 * \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = -49 - 245 - 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = -286 = \frac{D_{y} }{D} = \frac{-296}{-12} = \frac{74}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = \frac{74}{3} \end{eqnarray*}$
10.11.2010, 12:42	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
Das scheint mir auf den ersten Blick korrekt auszusehen.
10.11.2010, 12:50	kiwi1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Und nun $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} D_{z} = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 3 & 2 & 49 \\ 5 & -3 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 1 \begin{vmatrix} 2 & 49 \\ -3 & 0 \end{vmatrix} -1 * \begin{vmatrix} 3 & 49 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} +1 * \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 5 & -3 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 147 - 245 - 19 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = -117 = \frac{D_{z} }{D} = \frac{-117}{-12} = \frac{39}{4} \end{eqnarray*}$
10.11.2010, 13:12	kiwi1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Laut Probe kann das nicht stimmen: $\begin{eqnarray} x+y+z= 8 \equiv 13+\frac{74}{3} + \frac{39}{4} = \frac{569}{12} \end{eqnarray}$
10.11.2010, 13:29	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
Alos bei Matrizen der Ordnung 3 brauchst du diese noch nicht so aufdrösseln, da kannst du die Regel von Sarrus anwenden. $\begin{eqnarray} det D=\begin{vmatrix}1 &1& 1\\ 3& 2& 1\\ 5& -3& 1\end{vmatrix}<br /> =2+5+(-9)-(10+3-3)=-2-10=-12<br /> \end{eqnarray}$ D_z ist falsch, sollte 787 rauskommen.
10.11.2010, 13:32	kiwi1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit Matrizen und so haben wir noch nichts gehabt. Ich hab das nur so gemacht, wie wir es gelernt haben. Aber ich verstehe auch deine Rechnung nicht.
10.11.2010, 13:35	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo hast du denn Probleme? Regel von Sarrus gilt für 3 *3 Matrizen, und wie bei quadratischen ist es doch so Hauptdiagonale- Nebendiagonale, so habe ich das gemacht.
10.11.2010, 13:38	kiwi1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe noch nie was von Sarrus gehört. Wo liegt denn bei meiner Rechnung der Fehler?
10.11.2010, 13:43	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} D=-12<br /> <br /> D_x=\begin{vmatrix}<br /> <br /> 1 & 1 & 8\\<br /> 2 & 1 & 49\\<br /> -3 & 1 & 0\end{vmatrix}49\cdot -3+8\cdot 2-(-3\cdot 8+49)=16-147-25=-156<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} D_y=\begin{vmatrix}<br /> 1 & 1 & 8\\<br /> 3 & 1 & 49\\<br /> 5 & 1 & 0\\<br /> \end{vmatrix}=5\cdot 49+8\cdot 3-(5\cdot 8+49)=180<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Wie siehts jetzt mit D_z aus?
10.11.2010, 13:47	kiwi1990	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} D_{x} \end{eqnarray}$ habe ich bereits. Bei mir stimmen nur $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ nicht
10.11.2010, 13:51	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe D_y für dich richtig berechnet, ejtzt musst du nur noch D_z ausrechnen, ich hoffe das gelingt dir ohne große Probleme.
10.11.2010, 13:56	kiwi1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe nicht wie du auf $\begin{eqnarray} 5\cdot 49+8\cdot 3-(5\cdot 8+49)=180<br /> <br /> \end{eqnarray}$ kommst!
10.11.2010, 14:10	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
Alle Zahlen vor der Minusklammern entnehme ich den 3 Hauptdiagonalen, die in der Minusklammer den Nebendiagonalen. Hauptdiagonale: $\begin{eqnarray} 1 \cdot 1\cdot 0+1\cdot 49\cdot 5+8 \cdot 2\cdot 1 \end{eqnarray}$ Nebendiagonale: $\begin{eqnarray} 5\cdot 8+49\cdot 1\cdot 1+\cdot 0\cdot 1\cdot 1 \end{eqnarray}$ Wenn du es jetzt nicht verstehst einfach mal Regel von Sarrus nachshclagen, das sollte alle Unklarheiten beseitigen.
10.11.2010, 14:39	kiwi1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich check es nicht. In der Sarrusregel macht der das ganz anders. Ich rechne: Hauptdiagonale: $\begin{eqnarray} 110+1495+831= 269 \end{eqnarray}$ Nebendiagonale: $\begin{eqnarray} 518-1495-038= 64 \end{eqnarray}$ So steht es bei Wiki!

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