Minimalstelle einer Funktion

10.11.2010, 12:23

Die_Nathalie

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Minimalstelle einer Funktion

Hi

smile

hab ma ne frage!
Ich habe folgende funktion:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^5-3x^2 ............x>0 \end{eqnarray*}$

nun muss ich die Minimalstelle der Funktion berrechnen!
Ich weiss das ich die erste und die zweite Ableitung bilden muss:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=5x^4-3x^2<br /> f''(x)=20x^3-6x \end{eqnarray*}$

nun weiss ich nicht mehr weiter...kann mir jemand sagen was im nächsten Schritt zu tun ist?

Bei einer fkt. 2.grades würde ich einfach diese Nullsetzen und auflösen ...ist das hier auch so?

10.11.2010, 12:38

baphomet

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RE: Minimalstelle einer Funktion
1. Ableitung gebildet ist schon mal richtig, jetzt diese 0 setzen um Extremstellen zu berechnen. Also Nullstellen der Ableitung errechnen.

2. Ableitung die errechneten Werte einsetzen, >0 Minima, <0 Maximu

10.11.2010, 12:56

aleph_math

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RE: Minimalstelle einer Funktion

Zitat:

Original von Die_Nathalie
... Ich weiß, daß ich die erste und die zweite Ableitung bilden muss:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=5x^4-3x^2<br /> f''(x)=20x^3-6x \end{eqnarray*}$

Bei einer fkt. 2.grades würde ich einfach diese Nullsetzen und auflösen ...ist das hier auch so?

Ganz genau! Freude

Freude

Die Methode hängt NICHT von der Funkt. ab (gilt selbst f. Logar./Exp., Trigon. etc). Für Extrema also immer f' nullsetzen.

Wirkl. nötig ist f" allerd. nur für Wendepkt.; für Max./Min. genügt auch, den Funk.wert im Extremum u. dicht daneben zu bestimmen (das ist i.d.R. einfacher), dann sieht man schon, was es ist.. Freude

Freude

Viel Vergnügen! Wink

Wink

10.11.2010, 13:08

Bjoern1982

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Sieht denn wirklich keiner, dass die 1. Ableitung schon falsch ist (2. Summand) ? geschockt

geschockt

Womöglich sollte es $\begin{eqnarray*} f(x)=x^5-x^3 \end{eqnarray*}$ lauten, aber so wie es da steht ist es zunächst erstmal falsch und nicht einfach abzunicken Lehrer

Lehrer

10.11.2010, 14:33

Die_Nathalie

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@Bjoern1982:
sry hast recht hab nen schreibfehler in der Funktion...hast es ja aber doch erkannt um welche Funktion es sich handelt Augenzwinkern

Augenzwinkern

ok also ich rechne mal weiter:

ich substituier meine erste Abl.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=5x^4-3x^2 <br /> <br /> wird zu<br /> <br /> 5z^2-3z \end{eqnarray*}$

kann ich das so in die pq formel einsetzen?
und wenn ja was ist in dem fall q? 0?

10.11.2010, 14:51

leafy

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q ist in dem Fall 0, das ist richtig.
Du kannst das so aber nicht in die pq Formel einsetzen. Vor dem $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ (bzw. hier $\begin{eqnarray*} z^2 \end{eqnarray*}$ ) darf kein Faktor stehen, es muss also irgendwie so aussehen: $\begin{eqnarray*} 0 = z^2 - ... \end{eqnarray*}$

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10.11.2010, 15:51

Die_Nathalie

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... h i l f e traurig

traurig

10.11.2010, 16:25

Mulder

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RE: Minimalstelle einer Funktion
Die Substitution ist gar nicht erforderlich. Du hast ja schon richtig festgestellt, dass dein q hier null ist.

$\begin{eqnarray*} 5x^4-3x^2=0 \end{eqnarray*}$

Hier kann man doch erstmal ausklammern.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \, x^2 \cdot (5x^2-3)=0 \end{eqnarray*}$

Wann wird denn ein Produkt null?

10.11.2010, 16:39

Die_Nathalie

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RE: Minimalstelle einer Funktion
ein Produkt ist null, wenn eines der Faktoren Null ergibt...
aber was genau bringt das?

bzw. wie krieg ich hier das so hin das ein teil null wird?
muss ich irgendwas mit 0 multiplizieren?

10.11.2010, 16:47

Mulder

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RE: Minimalstelle einer Funktion

Zitat:

Original von Die_Nathalie
ein Produkt ist null, wenn eines der Faktoren Null ergibt...

Genau, es wird null, wenn einer der Faktoren null wird. Zerlege das Ganze also in zwei Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} x^2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5x^2-3=0 \end{eqnarray*}$

Kannst du das jeweils lösen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.11.2010, 16:59

Die_Nathalie

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haut mich nicht wenn ich jetzt noch ein fehler mach Big Laugh

Big Laugh

bin eh am verzweifeln ..also:

ich würde die wurzel aus x² ziehen
um dies hier zu bekommen:

$\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$

danach würd ich das wieder zusammenfügen wenn man das darf smile

smile

:
$\begin{eqnarray*} x*(5x^2-3) \end{eqnarray*}$

und das dann rein in die pq-formel...stimmt das?

10.11.2010, 17:04

Mulder

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RE: Minimalstelle einer Funktion
Eine Lösung ist schon mal x=0, ja.

Zitat:

Original von Die_Nathalie
danach würd ich das wieder zusammenfügen wenn man das darf smile

smile

:
$\begin{eqnarray*} x*(5x^2-3) \end{eqnarray*}$

und das dann rein in die pq-formel...stimmt das?

Da sträuben sich mir gerade die Nackenhaare hoch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was machst du denn hier?

Nochmal ganz langsam: Wir hatten

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \, x^2 \cdot (5x^2-3)=0 \end{eqnarray*}$

Die x, für die diese Gleichung gilt, wollen wir finden. Jetzt hattest du ja gesagt, dass ein Produkt genau dann null wird, wenn einer der Faktoren null wird (was dann mit dem anderen passiert, ist egal). Damit die Gleichung also gilt, muss entweder x²=0 sein oder 5x²-3=0 sein. Einverstanden?

x²=0 bedeutet, dass x=0 sein muss. Für x=0 gilt die Gleichung oben also schon mal (setz x=0 ein, dann siehst du es):

Jetzt weiter: Jetzt wollen wir gucken, für welche x denn der andere Faktor null wird. Dazu setzen wir

$\begin{eqnarray*} 5x^2-3=0 \end{eqnarray*}$

Rechne das jetzt einfach aus.

10.11.2010, 17:16

Die_Nathalie

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RE: Minimalstelle einer Funktion
traurig

traurig

sry...

$\begin{eqnarray*} 5x^2-3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5x^2-3=0 |:5<br /> x^2-\frac{3}{5}=0 | +\frac{3}{5}<br /> x^2= +\frac{3}{5} | wurzel<br /> x=0,7745 \end{eqnarray*}$

stimmt das? xD ich habs langsam satt Prost

Prost

10.11.2010, 17:19

Mulder

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RE: Minimalstelle einer Funktion
Du hast hier immer zwei Lösungen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} x^2 = \frac 3 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{1,2} = \pm \sqrt{ \frac 3 5 } \end{eqnarray*}$

Okay, jetzt haben wir drei Lösungen für x. Für diese x wird die erste Ableitung null.

Wie geht's weiter?

Zitat:

ich habs langsam satt

Fehlt ja nicht mehr viel. smile

smile

10.11.2010, 17:59

leafy

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Zitat:

Original von Mulder
Du hast hier immer zwei Lösungen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} x^2 = \frac 3 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{1,2} = \pm \sqrt{ \frac 3 5 } \end{eqnarray*}$

Stimmt zwar prinzipiell, aber ich gehe davon aus, dass dieses "x > 0" im Einleitungspost die Definitionsmenge darstellen soll, daher wäre der negative Wert bedeutungslos. smile

smile

10.11.2010, 18:46

Mulder

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Oh, da hatte ich jetzt gar nicht drauf geachtet, danke. smile

smile

10.11.2010, 18:56

Lotha

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RE: Minimalstelle einer Funktion
Zitat:
-------------------------------------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^5-3x^2 ............x>0 \end{eqnarray*}$

nun muss ich die Minimalstelle der Funktion berrechnen!
Ich weiss das ich die erste und die zweite Ableitung bilden muss:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=5x^4-3x^2<br /> f''(x)=20x^3-6x \end{eqnarray*}$

---------------------------------------------------------------------
Ehm entweder hast du die erste Funktion f(x) falsch hingeschrieben oder falsch abgeleitet weil du hast $\begin{eqnarray*} 3x^2 \end{eqnarray*}$ nicht abgeleitet.
1. Ableitung dann : $\begin{eqnarray*} f'(x)=5x^4-6x \end{eqnarray*}$

10.11.2010, 19:04

Mulder

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RE: Minimalstelle einer Funktion
Das wurde auf Seite 1 bereits geklärt.

10.11.2010, 21:59

Die_Nathalie

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@ mulder oder leafi ^^
wie gehts weiter? smile

smile

..warte auf anweisungen :P Big Laugh

Big Laugh

will die aufgabe heute hier noch fertig kriegen Tanzen

Tanzen

10.11.2010, 22:08

leafy

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Was du bisher hast, ist die notwendige Bedingung zum Feststellen eines Extremums. Das heißt, du weißt jetzt an welchen Stellen das Minimum möglicherweise liegen könnte.
Was fehlt ist die hinreichende Bedingung, mit der du eindeutig bestimmen kannst, wo das Minimum liegt.

Kurz: notwendige Bedingung war: f'(x) = 0
hinreichende Bedingung: f''(x) > 0

Aber ich will nicht zu viel verraten, ein bisschen musst du dir auch selbst erarbeiten, sonst bringt es dir nichts :P

11.11.2010, 15:30

Die_Nathalie

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ok also ich mach mal...aber wenn diesmal net klappt wünsch ich mir eine Auflösung traurig

traurig

ich setze in die 2. Abl. ein
$\begin{eqnarray*} <br /> f''( \frac 3 5)<br /> \end{eqnarray*}$

und löse es dann wieder auf bis x

$\begin{eqnarray*} <br /> 20x^3-\frac {3} {5} x....| : x<br /> 20x^2 - \frac {3} {5}....| :20<br /> x^2 - \frac {3} {100}....| wurzel + \frac {3} {100}<br /> <br /> x = 0.17320<br /> \end{eqnarray*}$

11.11.2010, 15:35

baphomet

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Falsch,

$\begin{eqnarray*} f''(\frac{3}{5}) \end{eqnarray*}$

Einfach nur für x \frac{3}{5} einsetzen. Ich schlage dir vor nochmal
zu schauen wie man bei einer Kurvendiskussion vorgeht.

1. Schnittpunkte mit den Achsen festellen
Nullstellen ermitteln f(x)=0, Ausklammern, Polynomdivision usw.
Schnittpunkt mit der y-Achse, x gleich Null setzen.
2. Extremstellen und Wendepunkte feststellen
1. und 2 Ableitung bilden
$\begin{eqnarray*} f'(x)=0 und f''(x_E)\neq0 \end{eqnarray*}$ Extrempunkt festellen
$\begin{eqnarray*} f''(x)=0 und f'''(x_W)\neq0 \end{eqnarray*}$ Wendepunkt feststellen
3. Symmetrieverhalten und Verhalten im Unendlichen
Achsensymmetrisch zur y-Achse f(x)=f(-x)
Punktsymmetrisch zum K.ursprung f(x)=-f(-x)
4. Unstetigkeitsstellen(Polstellen, Definitonslücken)

14.11.2010, 18:16

Die_Nathalie

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$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{5} - x^{3} <br /> f'(x)= 5x^{4} - 3x^{2} <br /> f''(x)= 20x^{3} -6x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2} * (5x^{2}-3) = 0<br /> x^{2} = 0 |Wurzel<br /> x = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5x^{2} - 3 = 0 |:5<br /> x^{2} -\frac{3}{5} = 0 | \frac{3}{5} <br /> x^{2} = \frac{3}{5} | Wurzel<br /> x = 0.77 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x) = 5*0.77^3 - 6*0.77<br /> = 2.28 - 4.62<br /> = - 2.34 \end{eqnarray*}$

nochmal von anfang an^^...
sry wegen der formatieren..kriegs echt nicht besser hin -.- aber stimmt das jetzt?

und wenn "ja" (wers glaubt) ist ja das ergebnis <0 ...also wäre es keine minimal stelle oder irre ich mich?

15.11.2010, 20:54

Die_Nathalie

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könnt ihr es nicht mehr sehen Big Laugh

Big Laugh

?!

15.11.2010, 21:00

Mulder

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RE: Minimalstelle einer Funktion

Zitat:

Original von Die_Nathalie
$\begin{eqnarray*} f''(x) = 5*0.77^3 - 6*0.77<br /> = 2.28 - 4.62<br /> = - 2.34 \end{eqnarray*}$

Warum steht da am Anfang denn 5*0.77³?

Die zweite Ableitung war doch

$\begin{eqnarray*} f''(x)= 20 x^3-6x \end{eqnarray*}$

Du musst schon mit den richtigen Werten rechnen.

15.11.2010, 21:43

Die_Nathalie

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verdammt xD...ich hab mit der ersten hälfte der 1. abl. gerechnet danke warte ich korriergs mal schnell smile

smile

$\begin{eqnarray*} <br /> f''(x)= 20*0.77³-6*0.77<br /> = 9,13 - 4,62<br /> = 4,51 \end{eqnarray*}$

dann ist <0 also eine minimalstelle oder? smile

smile

smile

15.11.2010, 22:05

Die_Nathalie

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Zitat:

Original von Die_Nathalie

dann ist <0 also eine minimalstelle oder? smile

smile

smile

ich meinte das ergebnis ist >0

16.11.2010, 00:11

Mulder

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RE: Minimalstelle einer Funktion
Ja, hier ist

$\begin{eqnarray*} f'' \left ( \sqrt{\frac{3}{5}} \right ) > 0 \end{eqnarray*}$

und damit liegt hier auch der gesuchte Tiefpunkt vor. Eine Skizze bestätigt das auch:

16.11.2010, 00:24

Kretos

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Auch wenn du dein Minimum bereits gefunden hast, sei noch erwähnt, dass dir bei dieser Zeile
$\begin{eqnarray*} x^{2}=\frac{3}{5}~|Wurzel \end{eqnarray*}$

eine zweite Lösung entsteht! (Immer beim Wurzeln!)

$\begin{eqnarray*} x_1=0,77~\wedge~x_2=-0,77 \end{eqnarray*}$

So sollte auch klar sein, woher das Maximum aus der Skizze von Mulder stammt Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.11.2010, 09:54

Packo

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Die Nathalie gib Acht:

$\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ als Lösung ist falsch!

17.11.2010, 16:05

Die_Nathalie

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echt vielen dank wieder einmal smile

smile

ham wa gut hingekriegt smile

smile

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