Rekursive Folge, Beweis: nicht nach oben beschränkt

10.11.2010, 12:40	Leye	Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursive Folge, Beweis: nicht nach oben beschränkt Hallo, ich habe meinen kleinen Traum erfüllt und studiere nun Mathematik. Leider habe ich wohl auch mit typischen Problemen im ersten Semester zu kämpfen. Jede Woche muss ich mehrere Übungsaufgaben zu Analysis und LA1 machen und da hätte ich gerade zu einer Analysis-Aufgabe eine Frage: Man soll schauen, ob die rekursive Folge $\begin{eqnarray} a_{n+1}:=a_n+(a_n)^{-1}, a_1:=1 \end{eqnarray}$ nach oben beschränkt ist oder nicht. Dazu habe ich erstmal ein paar Folgeglieder ausgerechnet, also 1, dann 2, 5/2, 2,9 ... aber irgendwann sehe ich, dass es anscheinend immer so weiter geht (ich hoffe, da liege ich richtig ...). Also nehme ich mal an, a_n ist nicht nach oben beschränkt. Wenn es eine obere Schranke gäbe, würde sie immer wieder übertroffen werden. Das würde ich gerne mit Induktion beweisen, nur da tue ich mir beim Beweis schwer. Habe folgenden Ansatz: $\begin{eqnarray} a_{n+1} < S \end{eqnarray}$ wird zum Widerspruch geführt. Nun muss das ja erstmal für n=1 gelten, also 1 < S. Da S erstmal beliebig groß, kann es also ruhig auch größer als 1 sein (darf man das?). Angenommen, a_n < S gilt, zu zeigen wäre dann, dass auch $\begin{eqnarray} a_{n+1} < S \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} a_{n+1} < S<br /> \Rightarrow a_n+\frac{1}{a_n} < S \end{eqnarray}$ Nach IA ist a_n < S, also wäre $\begin{eqnarray} a_n+\frac{1}{a_n} < S + \frac{1}{S} \end{eqnarray}$ und der Widersprüch würde darin liegen, dass $\begin{eqnarray} S + \frac{1}{S} < S \end{eqnarray}$ nicht gilt. Nur bin ich mir nicht sicher, ob man das so überhaupt machen kann. Darüber hinaus hänge ich noch an einer schwierigeren Aufgabe fest. Dort geht es um diese Folge: $\begin{eqnarray} \|a_{n+1}-a_n\| \leq q\cdot \|a_n-a_{n-1}\| \end{eqnarray}$ Mit einem $\begin{eqnarray} 0 \leq q < 1 \end{eqnarray}$ und man zeigen soll, dass diese Folge konvergiert. Da würde mir erstmal das Cauchy-Kriterium einfallen, also dass die Differenz der Folgeglieder (in den ersten Betragstrichen) stets kleiner als ein Epsilon sein soll. Dieses q, das zwischen 0 und 1 liegt, würde ja die rechte Seite nur noch kleiner machen und wenn dann die linke Seite wieder kleiner wird, wäre also die Differenz der Folgeglieder immer kleiner. Ich hoffe, ihr versteht, was ich meine, aber genau bei dieser Aufgabe bräuchte ich noch Hilfestellung.
10.11.2010, 14:33	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Leye, ich würde dir gerne bei deiner schwierigeren Aufgabe helfen. Dass diese Folge konvergiert ist nicht leicht zu zeigen, aber mit dem Cauchy-Kriterium bist Du auf dem richtigen Weg. Ich gebe Dir nun einen Tipp: Zeige doch erstmal folgendes: $\begin{eqnarray} \| x_{n+1}-x_{n}\|\leq c^{n} \|x_{1}-x_{0}\| \end{eqnarray}$ . Und dann überlege, wie du weitermachen könntest. Lg, dr. morrison
10.11.2010, 15:20	Leye	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi dr.morrison! Schonmal Danke für deine Antwort Ich versuch mal folgendes: Definition: $\begin{eqnarray} \|a_{n+1}-a_{n}\| \leq q \cdot \|a_{n}-a_{n-1}\|, \quad n \in \mathbb N, \quad 0 \leq q \leq 1 \end{eqnarray}$ Induktionsannahme: $\begin{eqnarray} \|a_{n+1}-a_{n}\| \leq q^{n} \cdot \|a_{1}-a_{0}\| \end{eqnarray}$ IA n=2: $\begin{eqnarray} \|a_{3}-a_{2}\| \leq q \cdot \|a_{2}-a_{1}\| \end{eqnarray}$ (das ist richtig wegen der Definition?) IS: $\begin{eqnarray} \|a_{n+2}-a_{n+1}\| \overset{}{\leq} \quad q \cdot \|a_{n+1}-a_{n}\| \overset{*}{\leq} \quad q^{n+1} \cdot \|a_1 - a_0\| \end{eqnarray}$ () folgt aus der Definition () folgt aus der IA Mir ist währenddessen die Vermutung eingefallen ... $\begin{eqnarray} \|a_{n+3}-a_{n+2}\| \leq \quad q \cdot \|a_{n+2}-a_{n+1}\| \leq \quad q^{n+1} \cdot \|a_{n+1} - a_{n}\| \leq \quad q^{n+2} \cdot \|a_1 - a_0\| \end{eqnarray*}$ und dass man das immer so weiter fortführen könnte, aber da bin ich mir selbst nicht ganz sicher. Na ja ich rätsle noch über das q -- es ist ja zwischen Null und Eins, also würde es die rechte Seite stets kleiner machen, selbst wenn es potenziert wird. Lässt sich das mit meinem Schritt vereinbaren?
10.11.2010, 15:33	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, für den Induktionsanfang musst du eigentlich für n=1 beweisen. Aber das stimmt ja schon nach Definition der Folge. Dein Induktionsschritt ist richtig. Es ist ziemlich schwierig, über die gerade bewiesene Aussage direkt weiter zu machen. Ich hatte diese Aufgabe damals in Analysis 1 auch, und habe sie zuerst ziemlich umständlich gelöst. Damit Dir das nicht passiert : Eine Cauchyfolge ist ja folgendermaßen definiert: $\begin{eqnarray} \forall \epsilon > 0 \exists N \in \mathbb N \forall m,n \geq N : \|a_{n}-a_{m}\| < \epsilon \end{eqnarray}$ . Wir können ja nun mal einfach $\begin{eqnarray} \|a_{n}-a_{n+k}\| \end{eqnarray}$ betrachten. Mein Tipp an Dich: Drück das geschickt über eine Summe aus. Wenn Du nicht weiterkommst, dann schreibs einfach.

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