Vollständige Induktion (Ungleichung)

10.11.2010, 13:15

LausBlub

Vollständige Induktion (Ungleichung)

Meine Frage:
Sitze grade an einer Aufgabe und soll durch vollständige Induktion zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} 0 \leq x <y => 0 \leq x^n < y^n \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} x, y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Ansatz:

es muss gelten: $\begin{eqnarray*} y-x>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y+x>0 => \end{eqnarray*}$ somit auch $\begin{eqnarray*} (y-x)(y+x)>0 => y^2 - x^2 > 0 <=> y^2 > x^2 \end{eqnarray*}$

beschreibt den Induktionsanfang für n=2.

nun habe ich aber Schwierigkeiten mit der Ungleichung, wie beschreibe ich den Induktionsschritt? Einfach nur: $\begin{eqnarray*} x^(n+1) < y^(n+1) \end{eqnarray*}$ ?
Logisch oder durch einen direkten Beweis kann man die Aussage direkt begründen, ich tu mich leider schwer mit der vollständigen Induktion an dieser Stelle ...

10.11.2010, 13:26

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion (Ungleichung)

Zitat:

Original von LausBlub
Einfach nur: $\begin{eqnarray*} x^{n+1} < y^{n+1} \end{eqnarray*}$ ?

Das mußt du im Induktionsschritt (unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung) zeigen.

10.11.2010, 13:31

LausBlubb

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Erstmal danke für die schnelle Antwort!
Das meinte ich, mein Problem ist es, das bei einer Ungleichung zu zeigen. Vor allem, weil die Aussage alleine doch schon logisch gesehen korrekt wäre, oder nicht?!

10.11.2010, 13:49

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion (Ungleichung)
Nimm doch mal die linke Seite der zu zeigenden Ungleichung und schreibe:

$\begin{eqnarray*} x^{n+1} =x \cdot x^n \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du auf der rechten Seite die Induktionsvoraussetzung für x^n anwenden.

10.11.2010, 14:10

LausBlub

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Okay, aber reicht es, wenn ich es wie folgt aufschreibe:

x^n+1 < y^n+1
<=> x^n * x < y^n * n

Da gilt:

x^n < y^n und x < y

gilt auch

x^n * x < y^n * n

10.11.2010, 14:28

klarsoweit

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Das geht auch, wenn du "y^n * y" statt "y^n * n" schreibst.

10.11.2010, 14:32

LausBlub

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oh ja, sorry, genau das wollte ich schreiben - hab mich vertippt!

Aber ist das so ausreichend, um es als "Beweis durch vollständige Induktion" zu bezeichnen? Ist es nicht eher ein direkter Beweis (abgesehen von der Tatsache, dass ich es für den Fall n+1 zeige, diesen jedoch via direkten Beweis)?

10.11.2010, 15:38

klarsoweit

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Wie man den Induktionsschritt zeigt, ist eine separate Frage.
In jedem Fall ist es ein Induktionsbeweis, da du ja bei dem Beweis von x^n < y^n ausgehst.

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