Vollständige Induktion-Fibonacci-Folge

10.11.2010, 13:27	Lena Lena Lena	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion-Fibonacci-Folge Meine Frage: Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion: Für die Glieder der Fibonacci-Folge F1=1, F2=1, Fn+1= Fn+Fn-1 gilt: (i) 1+F1+F2+.....+Fn= Fn+2 (ii) F²1+F²2+....F²n= Fn+Fn+1 (Zahlen sind runtergesetzt) (iii) Fm+n = Fm-1Fn+FmFn+1 Meine Ideen: Hab leider gar keinen Ansatz. Kann mir bitte jemand einen Tipp geben wie ich hier anfang?
10.11.2010, 14:08	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Lena! Du sollst für alle n größergleich 1 folgende Aussage beweisen (a): $\begin{eqnarray} 1 + \sum\limits_{k=1}^n {F_{k}} = F_{n+2} \end{eqnarray}$ . Überleg Dir mal, wie die Folge der Fibonacci - Zahlen aussieht. Die erste Zahl ist 1, die zweite auch 1. Um die dritte zu erhalten, addierst du die beiden letzten zahlen, erhältst also 2. Um die vierte zu erhalten, machst Du dasselbe, also 2+1=3. Für die fünfte 2+3 = 5. Für die Sechste 3+5=8. So. Den Induktionsanfang hättest Du damit schon mal gemacht (denn da musste du ja n=1 setzen; das wäre dann $\begin{eqnarray} 1 + \sum\limits_{k=1}^1 F_{k} = 1 + F_{1} = 1+1=2 = F_{3} \end{eqnarray}$ , und das stimmt ja offensichtlich. Und jetzt denk mal nach, wie du den Induktionsschritt machen würdest! lg, dr. morrison
10.11.2010, 14:15	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Beziehungsweise noch einen kleinen Tipp: Beim Induktionsschritt nehmen wir an, die Aussage sei bereits für ein natürliches n bewiesen. Wir nehmen also an, für ein n gelte schon $\begin{eqnarray} 1 + \sum\limits_{k=1}^{n} F_{k} = F_{n+2} \end{eqnarray}$ . Jetzt musst Du unter Benutzung dieser Aussage zeigen, dass die Aussage für (n+1) gilt. Was ist diese Aussage? Na, da setzt Du einfach für n (n+1) ein, also $\begin{eqnarray} 1 + \sum\limits_{k=1}^{n+1} F_{k} = F_{n+3} \end{eqnarray}$ . Und DAS musst du jetzt zeigen. Wenn du gar nicht weiß, wie du das bewerkstelligen sollst, dann schreib noch mal.
10.11.2010, 14:43	Lena Lena Lena	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey! Danke=) des hilft mir schon ein ganzes Stück weiter. Aber wie komm ich dann beim Induktionsschritt drauf, dass des gleich Fn+3 ist? Ich mein woher kommt die drei?
10.11.2010, 14:48	Lena Lena Lena	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh und ich weiß auch nicht wie ich beim Induktionsschritt weiterrechnen soll. Kann man mit dem Summenzeichen weiterrechnen?
10.11.2010, 15:05	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, du sollst ja beim Induktionsschritt die IV einbringen. Na, dann spalten wir mal die Summe auf: $\begin{eqnarray} 1 + \sum\limits_{k=1}^{n+1} F_{k} = 1 + \sum\limits_{k=1}^n F_{k} + F_{n+1} \end{eqnarray}$ . So - wo siehst Du jetzt die IV?
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