Potenzen der Matrix

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Potenzen der Matrix
Meine Frage:
Hi ich hab ein Frage zu dieser Aufgabe.

Berechne alle Potenzen der Matrix


Wobei alle Zahlen in "eine eckige Klammer" gehören. Ich hatte nur keine Ahnung wie man das im Latex schreiben muss.

Meine Ideen:
Es muss doch gelten:



d.h. man muss B so lange mit sich slebst Potenzieren bis wieder B rauskommt. Ich hab aber das Gefühl dass es gegen Unendlich geht.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du auf die Idee, dass es ein n gibt mit ?
 
 
Sub Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzen der Matrix
Weil es doch irgendwo aufhören muss, sonst ist es doch nicht möglich alle Potenzen anzugeben.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, das ist möglich. Ich kann alle natürlichen Zahlen angeben.
Sub Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzen der Matrix
Also folgt der Beweis per Induktion?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu brauchst du erst mal eine Behauptung. Die bekommst du, indem du die ersten Potenzen berechnest, d.h. so viele wie du brauchst, um eine Gesetzmässigkeit festzustellen.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzen der Matrix
wenn ich das richtig sehe, habs noch nicht ganz überprüft, hat deine matrix die einträge:



wobei n die n+1 te potenz deiner matrix ist, also für n=0 die erste potenz, für n=1 die zweite potenz
Sub Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzen der Matrix
Das habe ich gemacht und es komm immer was Äquivalentes raus...




wie gesagt alles in "einer Klammer"

Hab ich die Gesetzmäßigkeit erkannt, reicht es nur noch die Allgemeinform der Matrix anzugeben, verstehe ich das richtig?
Sub Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzen der Matrix
Igrizu, ich dachte so...





Ich verstehe nicht ganz was bewirken?

Machst Du es aufgrund des Vorzeichens, dass nach jeder Potenzierung wechselt?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzen der Matrix
das bewirkt den vorzeichenwechsel:





usw....
Sub Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzen der Matrix
Ok gut zu wissen,

Also ist die Aufgabe damit zu ende, wenn die Gesetzmässgkeit erkannt und in der Formel;




verallgemeinert ist?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzen der Matrix
du hast das bestimmt nicht für alle n nachgerechnet, also solltest du es noch beweisen.

hier könnte induktion weiterhelfen....
Sub Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzen der Matrix
Ja gut, also fange ich mit der Induktion an und zwar für,
n=1.
Sub Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzen der Matrix
Habe also n=1 in die Gleichung eingesetzt.

Und bis auf zwei Koeffizienten stimmt es. Ich bekomme das hier raus,



dass stimmt mit,



aber nicht ganz überein.

Muss in der ersten Spalte die Gleichung noch angepasst werden?
Sub Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzen der Matrix
Ich ergänze das zu,



Jetzt gehts, für n=1 kommt das hier raus:

Sub Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzen der Matrix
Wie muss man das im Induktionschritt von n auf n+1 handhaben, es muss doch jetzt in gewisser Weise das gelten oder?

lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzen der Matrix
so, noch mal ganz langsam, ich glaube, wir arbeiten mit einer falschen annahme, ich hab das gerade mal durchgerechnet und die annahme sollte sein:

.

setzen wir hier für n=0 ein, so erhalten wir die ausgangsmatrix.

nun kommen wir zum induktionsanfang, n=0 oder n=1, nehmen wir n=1:

und das stimmt.


nun zum induktionsschluss:

.

und das war zu zeigen.
Sub Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzen der Matrix
Aj Danke,

aber ich blicke da jetzt glaube ich nicht so ganz durch, denn setze ich n=1 hier ein,



dann bekomme ich auch B^2 und es gild auch für B^3 usw.
Sub Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzen der Matrix
Diese Formel gilt nicht für n=1 in der ersten Spalte in der zweiten Spalte schon...


lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzen der Matrix
Zitat:
Original von Sub
Aj Danke,

aber ich blicke da jetzt glaube ich nicht so ganz durch, denn setze ich n=1 hier ein,




okay, das ist auch äquivalent zu meiner aussage, die matrizen sind gleich, wie man leicht sieht:




aber wie kommst du dann darauf verwirrt :

Zitat:
Original von Sub
Wie muss man das im Induktionschritt von n auf n+1 handhaben, es muss doch jetzt in gewisser Weise das gelten oder?



wir haben doch mit begonnen, dann sollte beim schluss, n--> n+1 auch dran kommen....



Zitat:
Original von lgrizu
so, noch mal ganz langsam, ich glaube, wir arbeiten mit einer falschen annahme, ich hab das gerade mal durchgerechnet und die annahme sollte sein:

.

setzen wir hier für n=0 ein, so erhalten wir die ausgangsmatrix.

nun kommen wir zum induktionsanfang, n=0 oder n=1, nehmen wir n=1:

und das stimmt.


nun zum induktionsschluss:

.

und das war zu zeigen.


arbeite am besten mit dieser darstellung, das ist am einfachsten und der beweis ist schon fertig Augenzwinkern
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzen der Matrix
Zitat:
Original von Sub
Diese Formel gilt nicht für n=1 in der ersten Spalte in der zweiten Spalte schon...




ich habe diese matrix nicht in den raum geworfen, das bist du gewesen:

Zitat:
Original von lgrizu
wenn ich das richtig sehe, habs noch nicht ganz überprüft, hat deine matrix die einträge:



wobei n die n+1 te potenz deiner matrix ist, also für n=0 die erste potenz, für n=1 die zweite potenz


Zitat:
Original von Sub
Igrizu, ich dachte so...





edit: aber nun haben wir ja die richtige darstellung und diese sogar schon bewiesen Augenzwinkern Augenzwinkern
Sub Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzen der Matrix
Ich glaube ich verstehe jetzt, es gilt doch



Ich bin eben davon ausgegangen das wir mit

angenfangen haben, aber:

war doch schon für n=1 durch



gegeben, verstehe ich das jetzt richtig?

Also hing ich einen Schritt zurück?


Besten Dank für deine Hilfe
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzen der Matrix
Zitat:
Original von Sub
Ich glaube ich verstehe jetzt, es gilt doch



das stimmt nicht, ist die matrix für n=1 in der folgenden darstellung:


Zitat:
Original von Sub
Ich bin eben davon ausgegangen das wir mit angenfangen haben, aber:

war doch schon durch
gegeben, verstehe ich das jetzt richtig?

Also hing ich einen Schritt zurück?


nein auch nicht, ist diese matrix:

für n=0.

sei vorsichtig damit, wie du dich ausdrückst, das ist alles falsch, wenn zum beispiel

stimmte, dann wäre jede potenz von B gleich B^2 und das ist ja offensichtlich falsch.

ich hoffe du meintest das richtige, dass nämlich B^2 unsere Annahme für n=1 ist usw.
Sub Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzen der Matrix
Ja so habe ich das verstanden

war ja die erste Matrix die mit n=1 nachgewiesen werden musste.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzen der Matrix
okay, dann ist ja alles gut...

wenn du noch fragen hast, einfach melden....
Sub Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzen der Matrix
Ja Fragen hätte ich wirklich noch. Allerdings weist ich nicht wie lange Du noch da bist. Ich muss nämlich noch einen Ansatz ausarbeiten.

Für deine Hilfe nochmals herzlichen Dank
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzen der Matrix
wenn es nichts mit der aufgabe zu tun hat eröffne einen neuen thread...

ich gehe gleich ins bett, aber es wird sich noch der ein oder andere finden, spätestens morgen früh, der dir hilft Augenzwinkern
Sub Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzen der Matrix
Das ist Cool Freude

Dann Gute Nacht, Ciao Wink
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