Dezimalbruchentwicklung von p/q

10.11.2010, 16:38	StAnger_	Auf diesen Beitrag antworten »
Dezimalbruchentwicklung von p/q Seien p,q $\begin{eqnarray} \in \mathbb N \end{eqnarray}$ mit p<q und es seien $\begin{eqnarray} a_{n}, r_{n} \in \mathbb N \cup \end{eqnarray}$ {0} rekursiv definiert durch: $\begin{eqnarray} r_{1} \end{eqnarray}$ = p und 10 $\begin{eqnarray} r_{n} = a_{n}q + r_{n+1} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 0 \leq r_{n+1} \end{eqnarray}$ < q. Zeigen sie, dass $\begin{eqnarray} \frac{p}{q} = \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n}10^{-n} \end{eqnarray}$ Die rechte Seite nennt man die Entwicklung von $\begin{eqnarray} \frac{p}{q} \end{eqnarray}$ in einen eigentlichen Dezimalbruch. Soweit zur Aufgabe...Ich habe nicht wirklich einen Ansatz wie ich diese Aufgabe lösen soll. Ich denke mal es wird irgendwie mit Induktion funktionieren, aber über was??? Wäre cool, wenn ihr mir helfen könntet!
12.11.2010, 18:00	StAnger_	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dezimalbruchentwicklung von p/q Schade, dass niemand antwortet, habs aber mittlerweile auch selbst hinbekommen!
13.11.2010, 10:54	monet	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dezimalbruchentwicklung von p/q Wie schade, dass du uns an deinem Ergebnis nicht teilhaben läßt... gruß monet
13.11.2010, 18:08	StAnger_	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dezimalbruchentwicklung von p/q Mach ich doch glatt Man löst die zweite Gleichung nach $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ auf und setzt das Ergebnis in die Summe ein, dann kann man q aus der Summe rausziehen und erhält: $\begin{eqnarray} \frac{1}{q} \cdot \sum\limits_{n=1}^\infty 10^{-n+1}r_{n}-10^{-n}r_{n+1} \end{eqnarray}$ Wenn man nun zeigen kann, dass die Summe gleich p ist, ist man fertig! Man sieht dass die Summe eine Teleskopsumme ist. Wenn man also die Folge der Partialsummen betrachtet bleiben nur der erste und der letzte Term stehen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^N 10^{-n+1}r_{n}-10^{-n}r_{n+1} = r_{1}-10^{-N}\cdot r_{N+1} \end{eqnarray}$ Es gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{N \to \infty} r_{1}-10^{-N}\cdot r_{N+1}=r_{1}=p \end{eqnarray}$
13.11.2010, 18:54	monet	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dezimalbruchentwicklung von p/q danke!!

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