Konvergenz einer geometrischen Reihe

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BelleMaundrell Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer geometrischen Reihe
Hllo ihr Lieben,

ich habe folgende Aufagbe für euch

Untersuche auf Konvergenz -



(Vor der Aufgabe steht noch ein Summenzeichen).

ist doch eine geometrische Reihe und diese konvergiert doch gegen , oder? Ich bin mir dabei aber nicht mal sicher ob sie absolut konvergiert :o)

Aber wie mache ich das jetzt, dass nur die geometrische Reihe dort steht?

Bin über jeden Denkanstoß dankbar!
dr.morrison Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

aus welcher Menge ist q? Denn: Wählen wir q aus [0,1], so ist die Aufgabe trivial, da die aufzusummierende Folge keine Nullfolge ist. Sie muss also divergieren. Ansonsten kannst Dufür q>1 folgendermaßen abschätzen: , und da q > 1 war ist . Damit sollte Dir die Konvergenz der Reihe ins Auge springen, da ihr ja die geometrische Reihe anscheinend schon hattet. Und: Wenn bei einer Reihe die Folge der aufzusummierenden Glieder positiv ist und die Reihe konvergiert, so ist die Reihe automatisch absolut konvergent. Beides erfüllt für 0<q<1 die geometrische Reihe. Aber wie gesagt, man muss wissen, wie das q gewählt ist.
Lg, dr. morrison
BelleMaundrell Auf diesen Beitrag antworten »
Das q ...
Hallo dr.morrison,

danke für deine Antwort ...

Das q ist in der Aufgabe so definiert:

q > 0.
Aber besagt, dass auch automatisch das q>1 ist bzw. das q<1 ist? Das ist der Punkt, wo ich hängen bleibe, weil die Aufgabenstellung sagt ja nur aus q>0. Ich weiss nicht so recht, wie ich das interpretieren soll ... Hammer

So, und wenn q>1 divergiert die Reihe und wenn q<1 dann konvergiert die Reihe absolut oder habe ich da während der Vorlesung etwas falsch verstanden?

Ich bin immer noch unsicher, was die Konvergenz der geometrischen Reihe betrifft.

Wäre echt dankbar, wenn du mir noch mal kurz ein 'anstößchen' geben könntest.
dr.morrison Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

also, das ist eigentlich alles ganz leicht. Was ihr wahrscheinlich - wenn wir q>0 voraussetzen - in der Vorlesung gemacht habt:
konvergent für 0<q<1 und divergent für .
Nun sagt die Aufgabenstellung lediglich q>0. Dann musst Du eben die Fallunterscheidung machen, die ich dir vorhin geschrieben habe. Betrachten wir also zunächst den Fall 0<q<1, und die Folge in der Summe: . Da ja 0<q<1, konvergiert gegen 0 (Das sollte Dir bekannt sein smile ) Also konvergiert insgesamt die Folge unter der Summe gegen 1. Soll eine Reihe konvergieren, so muss die Folge eine Nullfolge sein, d.h. gegen 0 konvergieren - aber das tut sie hier ja gar nicht. Also: Divergent. Wenn q=1, dann ist die Folge in der Summe konstant 1/2, und das konvergiert gegen 1/2 und nicht gegen 0. Versuche mal, mit der hilfestellung aus meinem vorherigen Post zu schließen, was für q>1 passiert. Und beachte meinen obigen Text zur geometrischen Reihe.
BelleMaundrell Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungsvorschlag ...
Juhuuu,

ich habe da mal einen Vorschlag für q>1:

Wenn q>1 konvergiert die Summe 1+ gegen .

Daraus folgt, dass die gesamt Reihe gegen 0 läuft. Somit wäre die eine Nullfolge und konvergiert absolut.

Ich hoffe, dass ich das jetzt so richtig erklärt habe :o)
dr.morrison Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ein bisschen muss ich deine Euphorie bremsen. Erst mal musst du den Unterschied zwischen Folgen und Reihen kennen. Das will ich jetzt nicht ausführlich erklären, aber Reihen sind (unendliche) Summen. Du hast gerade etwas gewaltig verwechselt, ich schrieb nämlich:
. Die Umkehrung gilt leider nicht, denn wir haben z.B. , aber (1/k) ist ja Nullfolge.

Überleg dir doch mal, warum gilt: , und teile es mir mit, damit ich dir sagen kann, ob deine Argumentation richtig ist smile
 
 
BelleMaundrell Auf diesen Beitrag antworten »

Juhuu,

Zitat:
Original von dr.morrison
Überleg dir doch mal, warum gilt: , und teile es mir mit, damit ich dir sagen kann, ob deine Argumentation richtig ist smile


Also, ich habe mir das so gedacht ...

konvergiert gegen 1 und die Reihe konvergiert gegen 0, da die Summe unter dem Bruchstrich größer ist.
Huy Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du darauf, dass gegen 1 konvergiert?

MfG
BelleMaundrell Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt so auch nicht ...
Guten Abend,

da hast du recht, dass stimmt so auch nicht ...

Ich gehe davon aus je größer der 'Betrag' unter einem Bruchstich ist um so kleiner wird das Ergebnis in der gesamten Folge ...
Huy Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Annahme ist richtig. Es gilt also, wie dr.morrison sagte:


Davon ausgehend, dass ihr das Wurzelkriterium bereits hattet, berechnest du nun:


Daraus folgt, dass die Reihe absolut konvergent ist und daraus folgt, dass die gegebene Reihe ebenfalls absolut konvergiert (für alle q > 1); Majorantenkriterium.

MfG
BelleMaundrell Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube ich hab es ...
Danke euch beiden für eure Geduld,

ich bin jetzt alles nochmal durchgegangen und hoffe, dass ich es nun auch verstanden habe, aber ich denke schon :o)

also, vielen vielen Dank euch beiden ...


Wink
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