Der algebraische Körper

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tpt Auf diesen Beitrag antworten »
Der algebraische Körper
Hallo zusammen,

ich schreibe gerade ein Script für einen Vortag über "Der algebraische (Zahlen-) Körper schreiben. Bis jetzt habe ich mein Script wie folgt aufgebaut:

- Def. Körper

- Axiome zur Erfüllung eines Körpers

- Untersuchung der Zahlenbereiche N, Z und Q auf Erfüllung der Körperaxiome

Zum 3. Punkt habe ich nun eine Frage. Für N und Z lässt sich recht schnell und einfach ausschließen, dass es sich um Körper handelt und auch für Q lässt sich feststellen, dass die Rechenregeln unter den Axiomen allein deßhalb gelten, weil Q Teilmenge der reelen Zahlen ist.

Ich möchte allerdings noch an 1-2 Beispielen aufzeigen, wieso dies der Fall ist und genau da liegt mein Problem. Ich tue mich mit der mathematisch allg. Schreibweise doch recht schwer.

Wie sieht so ein Beweis aus?

MfG

Jonas
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die rationalen Zahlen sind Brüche ganzer Zahlen Z und bilden als soche einen beispielhaften Zahlkörper Q, die reellen Zahlen entstehen daraus durch Vervollständigung. Deine Behauptungen sind also so nicht richtig.

Wo willst du deinen Vortrag halten ? An einer Hochschule muss ein Vortrag über algebraische Zahlkörper völlig anders aussehen.
tpt Auf diesen Beitrag antworten »

Muss er das? Ich habe bereits Rücksprache mit meinem zuständigen Prof. gehalten und er meinte das die Richtung in Ordnung ist.

Wie sieht denn ein Vortrag über den Zahlkörper nach deiner Meinung aus?

PS: Ich studiere Wirtschaft und da brauche ich halt auch diesen kleinen Matheschein. Evtl. sind die Ansprüche an diesen Vortrag in diesem Fall nicht ganz so hoch Augenzwinkern .
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

1. Körper sind definiert durch ihre Axiome. Ich verstehe daher noch nicht, wie du deinen Teil 1 und Teil 2 aufbauen willst. In der Algebra ist das immer so, dass man Mengen mit Operationen hat, die bestimmten Axiomen genügen.

Ein Körper ist eine Menge K mit einer Addition (neutrales Element 0, assoziativ, kommutativ, Existenz eines inversen Element zu jedem Element) und einer Multiplikation (neutrales Element 1, assoziativ, kommutativ, Existenz eines inversen Elements zu jedem Element ausser 0) und es gelten die beiden Distributivgesetze.

2. Ein Zahlkörper ist ein Körper (siehe 1.) , dessen Elemente Zahlen sind.
Allgemein bekannte Beispiele sind , das sind die Körper der rationalen, rellen, komplexen Zahlen.
Dann gibt es noch die p-adischen Zahlkörper .
Algebraische Zahlkörper sind algebraische Körpererweiterungen von , sie entstehen z.B. durch Adjunktion von Nullstellen von rationalen Polynomen, als Zerfällungskörper von Familien rationaler Polynome oder durch ähnliche algebraische Vorgänge.

3. Wenn deine Ansprüche immer noch bescheiden sind, empfehle ich dir, dich etwas mehr mit zu befassen und eventuell als kleines Extra über endliche Körper zu referieren.
Endliche Körper sind zwar keine Zahlkörper, aber in Algebra, Zahlentheorie und Raumfahrt unverzichtbar.
Toni90 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Der algebraische Körper
Hallo tpt... so wie ich sehe oder vielmehr vermute bist du auf der FH GE so wie ich und wir haben das gleiche Thema !

Ich verstehe das Thema nicht so ganz verwirrt

Vllt können wir uns ein bisschen mit den Informationen austauschen.

Meld dich mal bitte hier oder bei studivz in der Gruppe

Mfg

Toni
Toni90 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Der algebraische Körper
Hallo Elvis,

also ich habe das gleiche Thema wie -tpt-, hatte aber nicht so viel zeit mich mit diesem thema zu beschäftigen, da ich im krankenhaus war, und so fehlen mir viele informationen.

Was sind algebraische Zahlen?

Was sind algebraische Körper?

und wie kann ich mir so ein Körper vorstellen?
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ist eine Körpererweiterung, so heißt algebraisch über dem Körper , wenn Nullstelle eines Polynoms ist. Sonst heißt transzendent über dem Körper .

Der Begriff "algebraischer Körper" bezeichnet eine Körpererweiterung , deren sämtliche Elemente algebraisch über dem Grundkörper sind.

An Beispielen habe ich es nicht fehlen lassen. Man nehme die rationalen Zahlen und ein oder mehrere rationale Polynome und bilde daraus Zahlkörper über den rationalen Zahlen. Das sind algebraische Zahlkörper.

Ganz konkret

Vorstellen, das wird eher schwierig. Rechnen kann man damit. Dazu sind Zahlen gemacht (glaube ich jedenfalls), oder man versucht zumindest, ihre Strukturen zu verstehen, damit man besser rechnen lernt.
Toni90 Auf diesen Beitrag antworten »

Also heißt das, dass z.B. wie du erwähnst Q(Wurtel aus 2) ein Erweiterungskörper der rationalen Zahlen? weil Wurzel aus 2 eine algebraische zahl ist?

Oder liege ich ganz falsch?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

z. B. ist ein algebraischer Zahlkörper, weil eine Nullstelle von ist, also algebraisch über ist.
z. B ist transzendent, d.h. nicht algebraisch über , daher ist ein algebraischer Funktionenkörper einer Variablen.
(Ich wollte das Thema nicht gleich zu Anfang unnötig komplizieren. Augenzwinkern )
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