Induktion - rekursive, nach oben beschränkte Folge

10.11.2010, 17:00	Luc_Alla_Yeah	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion - rekursive, nach oben beschränkte Folge Hallo, ich sitze gerade an folgender Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} y_1=1 \end{eqnarray}$ und für jedes $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} y_{n+1} \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} y_{n+1}=\frac{3y_n + 4}{4} \end{eqnarray}$ . (i) Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N}, y_n < 4 \end{eqnarray}$ richtig ist. Angefangen habe ich erstmal mit n=0: $\begin{eqnarray} y_1=\frac{3\cdot 0 + 4}{4}=1 \end{eqnarray}$ also gilt die Aussage. Es gelte nun $\begin{eqnarray} y_n<4 \end{eqnarray}$ für bel. aber festes $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ . So, zu zeigen ist jetzt ja so weit ich weis, dass $\begin{eqnarray} y_{n+1}<4 \end{eqnarray}$ ist. Da jedoch gilt $\begin{eqnarray} y_{n+1}=\frac{3y_n + 4}{4}=\frac{3}{4}y_n +1 \end{eqnarray}$ und y_n nach Induktionsvorraussetzung kleiner 4 ist. bin ich doch schon fertig, oder? o.O schließlich ist 3/4*4+1=4 und y_n ist kleiner 4. Was muss ich tun?
10.11.2010, 17:20	Huy	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst es aufschreiben und bisschen mehr von dir überzeugt sein. :P (Ja, du bist dort tatsächlich schon fertig...) MfG
10.11.2010, 18:02	Luc_Alla_Yeah	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, danke =) ja, es ist irgendwie immer so, dass ich entweder gar nicht weis wie ich anfangen soll, oder es so einfach war, dass ich nicht glauben kann schon fertig zu sein ^^ gruß

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