Ebenenschar

10.11.2010, 17:27

flyflo01

Ebenenschar

Meine Frage:
Hallo,

habe ein Problem mit der folgenden Aufgabe:

Durch $\begin{eqnarray*} E_{k} : x_{1}+(k-2)x_{2}+(2k+1)x_{3}=5-2k \end{eqnarray*}$ ist eine Schar von Ebenen gegeben.
a) war einfach...
b) Berechnen sie, welche der Ebenen Ek zur 3. Achse parallel ist.
c) Zeigen Sie, dass keine der Ebenen Ek orthogonal zur 3.Achse ist.
d) Berechnen sie, welcher Zusammenhang zwischen k und k* gelten muss,damit die Ebenen Ek und Ek* der Ebenenschar orthogonal sind. Machen Sie eine begründete Aussage darüber, ob es zu jeder Ebene Ek eine Ebene Ek* gibt, die zu Ek orthogonal ist.
e) Zeigen sie, dass es sich bei der obigen Ebenenschar um ein sog. Ebenenbüschel handelt, dass es also eine Gerade g gibt, die in allen Ebenen Ek liegt. Bestimmen sie eine Gleichung für g.

Meine Ideen:
Ja und jetzt brauche ich eure Hilfe. Ich hab iwie überhaupt keine Ahnung wie man das alles macht.

bei b) müsste es ja iwas mit y=0,1,2,3... halt irgendne Zahl sein. aber welche is halt die frage ne.
bei c) hab ich abslut keine ahnung
bei d) hab ich mir mal überlegt dass ja wegen senkrecht Ek x Ek*=-1 gelten müsste. Dann käme man auf Ek=-1/Ek*. aber das bringt mich ja auch nicht weiter...
und bei e) weiß ich auch nicht weiter

hoffe dass ihr mir helfen könnt

schon mal danke im voraus

10.11.2010, 17:43

Eierkopf

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RE: Ebenenschar
Habe wenig Zeit, aber trotzdem:

zub) Was muss denn in diesem Fall für $\begin{eqnarray*} x_{3} \end{eqnarray*}$ gelten)

zuc) Was gilt bei Parallelität für den Normalenvektor der Ebene $\begin{eqnarray*} E_{k} \end{eqnarray*}$ ?

zud) Ebenen sind orthogonal, wenn ihre NV'en orthogonal sind und nicht bei Erfüllung Deiner Bedingung. Die gilt für Geradensteigungen im zweidim Raum.

zu e) Bestimme die Schniottgerade zweiser Geraden und zeige, dass diese in allen Ebenen liegt.

Vielleicht hilft der später dann noch jemand anders weiter.

gruß
E

10.11.2010, 19:04

flyflo01

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Ebenenschar
und wie kriegt man den Normalenvektor der Ebene raus?

Die angegebene Form ist ja nicht die Normalenform.

Ist das dann so:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ (k-2) \\ (2k+1) \end{pmatrix}=5-2k \end{eqnarray*}$ ???

und wie mach ich da jetzt weiter?

10.11.2010, 22:04

mYthos

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RE: Ebenenschar

Zitat:

Original von flyflo01
...
Die angegebene Form ist ja nicht die Normalenform.
...

Doch! Sie ist es! Die Normalvektorform lautet allgemein

$\begin{eqnarray*} \vec n * \vec x = c \end{eqnarray*}$

Und hier ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ k-2 \\ 2k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ der Normalvektor.

mY+

11.11.2010, 14:31

flyflo01

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Ebenenschar
ok, das mit dem Normalenvektor ist jetzt klar. Erstmal danke dafür.

Zitat:

zub) Was muss denn in diesem Fall für x3 gelten)

dann muss x3=0 sein richtig? Das würde bedeuten k=-0,5.

Zitat:

zuc) Was gilt bei Parallelität für den Normalenvektor der Ebene Ek ?

Ich weiß leider nicht, was mit der Frage gemeint ist. Senkrecht bedeutet, dass das Produkt von beiden Ebenen doch -1 ergeben muss.

Wäre dass dann sowas wie (2k+1) mal (2k*+1) =1? Oder bringt mich das hier nicht weiter???

Zitat:

zud) Ebenen sind orthogonal, wenn ihre NV'en orthogonal sind

ok dafür bräuchte man erstmal die lösung c). und wenn man dann weiß wies geht krieg man das ja hin.

Zitat:

zu e) Bestimme die Schniottgerade zweiser Geraden und zeige, dass diese in allen Ebenen liegt

welche 2 geraden soll ich da nehmen?

11.11.2010, 18:24

mYthos

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b)
x3 muss NICHT Null sein, wohl aber sein Koeffizient! Daher ist $\begin{eqnarray*} 2k + 1 = 0 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} k = -\frac 1 2 \end{eqnarray*}$

c)
In diesem Fall muss der Normalvektor der Ebene parallel zu dem Richtungsvektor der x3-Achse sein, somit diese beiden Vektoren linear abhängig. Dabei muss ein Vektor ein Vielfaches des anderen sein (kollineare Vektoren). Du musst nun überprüfen, ob dies bzw. wenn, für welches k dies möglich ist.

d) und e) machen wir, wenn du dich wieder meldest und b) und c) erledigt sind.

mY+

11.11.2010, 20:13

flyflo01

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Ebenenschar
also wenn k=-0,5 ist, dann lautet die Lösung bei b) E: x1-2,5x2=4 richtig?

und wei sieht das bei c) aus?

so? $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ k-2 \\ 2k+1 \end{pmatrix} = r*\begin{pmatrix} ? \\ ? \\ 2k+1 (?) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wie sieht denn der Richtungsverktor für x3 aus?

11.11.2010, 20:20

mYthos

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RE: Ebenenschar
Bitte, setze doch k = -1/2 RICHTIG ein! Deine Gleichung stimmt nicht!
_______

c)
Der Vektor neben r ist der bekannte Richtungsvektor der x3-Achse undt enthält daher kein k! Wie der aussieht, kannst du leicht berechnen, wenn du als Anfangspunkt den Nullpunkt und als Endpunkt einen Punkt auf der x3-Achse (vorzugsweise so, dass die Länge 1 ist) bestimmst.

mY+

13.11.2010, 16:56

flyflo01

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Ebenschar
zu b) wieso ist denn das Einsetzen falsch?

Ich setze in $\begin{eqnarray*} E_{k} : x_{1}+(k-2)x_{2}+(2k+1)x_{3}=5-2k \end{eqnarray*}$ k=-0,5 ein.

Dann erhalte ich: $\begin{eqnarray*} E_{-0,5}=x_{1}+(-0,5-2)x_{2}+(2*-0,5+1)x_{3}=5-(2*-0,5) \end{eqnarray*}$ und dann das Ergebnis E: x1-2,5x2=4.

zu c)
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ k-2 \\ 2k+1 \end{pmatrix} = r*\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist das richtig? Und das ist dann nicht lösbar, oder?

15.11.2010, 02:19

mYthos

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Die Ebenengleichung stimmt aber nach wie vor nicht.
Hinweis: Die linke Seite stimmt, das Problem ist die 4 rechts.

c) Stimmt!
______________

Hast du nun bei d) und e) noch konkrete Fragen und wenn ja, welche?

mY+

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Ebenenschar

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