Teilbarkeit

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10.11.2010, 20:00	pivotvariable	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilbarkeit Also ich weiß etz gerade bei einer INduktionsaufgabe echt nicht weiter: $\begin{eqnarray} 10^n -\left(-1\right)^n \end{eqnarray}$ soll durch 11 teilbar sein..... wie komme ich von $\begin{eqnarray} 1010^n -\left(-1\right)\left(-1\right)^n \end{eqnarray*}$ auf die Induktionsvoraussetzung mit eine, durch 11 teilbaren Vielfachen?? Es geht hier wirklich nur um Umformungen!
10.11.2010, 20:43	pivotvariable	Auf diesen Beitrag antworten »
bitte um tipps^^
10.11.2010, 20:44	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Tip: Stop pushing!
10.11.2010, 20:47	pivotvariable	Auf diesen Beitrag antworten »
was heißt stop pushing?? ich meine ja nur....manchmal steht man halt un ter zeitdruck^^
10.11.2010, 21:22	hallos	Auf diesen Beitrag antworten »
hier werden ja immer genau die gleichen fragen gestellt^^ für gerade n: 10^n-1=11k IS: 10^210^n-1=(10^n-1)10^2+99=11k10^2+99 für ungerade....
10.11.2010, 21:34	pivotvariable	Auf diesen Beitrag antworten »
also gerade ungerade würde ja keinen n+1 schritt erlauben und ist für die induktion doch eigentlich nicht unbedingt richtig da dies für alle n gelten soll darf man eine dreifach induktion einbauen also von den gebildeten termen welche herausgreifen und einen neuen induktionsbeweis durchühren bis es stimmt??
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10.11.2010, 21:49	hallos	Auf diesen Beitrag antworten »
du machst den IA für n=1 und n=2, machst 2 induktionen mit dem jeweiligen induktionsschritt n+2? dann hast du es ja für n+1 bewiesen?
10.11.2010, 21:55	pivotvariable	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ich habe halt meine n+1 induktion in ein vielfaches der induktionsvorraussetzung aufgespalten die durch 11 teilbar ist.....behuptet dass der rest teilbar ist und wieder mit der induktionsvoraussetzung teils auch aus dem ersten beweis solange weiter gemacht bis am ende ein vielfaches meiner letzten induktionsvoraussetzung durch 11 teilbar war...
11.11.2010, 10:49	_-Alex-_	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe gesagt: $\begin{eqnarray} n=1: \phantom {xxxx} \frac{10-(-1)}{11}=\frac{11}{11}=1 \phantom{x} \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ Aus der Annahme, dass die Formel für n gilt folgt: $\begin{eqnarray} \frac{10^n-(-1)^n}{11} = k \phantom {x} \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ Dann habe ich für n+1 gesagt: $\begin{eqnarray} \frac {10^{n+1}-(-1)^{n+1}}{11}=\frac{(10-(-1))\dot(10^n-(-1)^n)}{11}=\frac{(10-(-1)\cdot k \cdot 11}{11} = k \cdot (10-(-1)) = k\cdot 11 \phantom{x} \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ Kann man das so machen? lg EDIT: ah ne doch net
11.11.2010, 22:06	_-Alex-_	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab eine Korrektor vorgenommen. Also nochmal^^. Könnt ihr mir sagen, ob ich es so beweisen kann: Induktionsanfang und -behauptung bleiben gleich. Für den Induktionsschritt habe ich mir nun folgendes überlegt: Zunächst gilt ja nach Polynomdivison: $\begin{eqnarray} \frac {a^{n+1}-b^{n+1}}{a^n-b^n} = a+ \frac{b^n \cdot (a-b)}{a^n-b^n} \end{eqnarray}$ D.h. speziell gilt: $\begin{eqnarray} 10^{n+1}-(-1)^{n+1}=(10+\frac{(-1)^n \cdot (10-(-1))}{10^n-(-1)^n} \cdot (10^n-(-1)^n) \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt meinen Induktionsschritt mache, kann ich doch sagen: $\begin{eqnarray} \frac {10^{n+1}-(-1)^{n+1}}{11} = \frac {1}{11} \cdot (10 + \frac { (-1)^n \cdot (10-(-1))}{10^n-(-1)^n} \cdot (10^n-(-1)^n)=\frac {1}{11} \cdot (10+ \frac {(-1)^n \cdot 11}{k \cdot 11})\cdot k \cdot 11= 10 \cdot k + (-1)^n \phantom {x} \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ Kann ich das als Beweis anführen? MfG

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