Hauptideal

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10.11.2010, 20:41	Riemannson	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptideal hallo, ich hab folgendes: sei $\begin{eqnarray} I \in [0,1] \ \ und \ \ R=C^0(I) \end{eqnarray}$ die Menge der stetigen Funktionen von $\begin{eqnarray} I \ \ nach \ \ \mathbb R. \ \ M_c:= \lbrace f \in R : f(c)=0 \rbrace \end{eqnarray}$ Wie kann ich zeigen das $\begin{eqnarray} M_c \end{eqnarray}$ kein Hauptideal also $\begin{eqnarray} \nexists f \in R \ \ mit \ \ M_c=R \end{eqnarray}$
11.11.2010, 12:23	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptideal Hi Riemannson, Nimm doch einfach mal an, dass $\begin{eqnarray} M_c \end{eqnarray}$ ein Hauptideal ist, also $\begin{eqnarray} M_c=(g) \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} g\in R \end{eqnarray}$ . Was kannst Du nun über Nullstellen von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ sagen? Betrachte auch insbesondere Grenzwerte verschiedener Funktionen bzw. Quotienten von Funktionen für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ gegen 0. Noch eine Bemerkung: Quantorensymbole sind keine Abkürzungen. Sie haben in einem normalen deutschen Satz nichts zu suchen. Du schreibst ja schließlich auch nicht: $\begin{eqnarray} \end{eqnarray}Ich geh noch $\cdot$ einkaufen $\&$ kauf noch ein $\rho$-es Ei. \begin{eqnarray} \end{eqnarray}$ Gruß, Reksilat.
11.11.2010, 18:44	Riemannson	Auf diesen Beitrag antworten »
angenommen es gäbe so ein f dann wäre das ja auf ganz I gleich null richtig soweit? oder willst du auf was anderes raus?
11.11.2010, 18:46	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn f auf I null ist, dann wären auch alle anderen Funktionen aus (f) auf dem Intervall null. Mit Sicherheit kannst Du Funktionen aus $\begin{eqnarray} M_c \end{eqnarray}$ finden, die nicht überall auf I null sind.
11.11.2010, 18:49	Riemannson	Auf diesen Beitrag antworten »
obwohl nicht überall null, sondern die nullstelle muss in I liegen...
11.11.2010, 18:51	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Hä? Kannst Du mal irgendeine konkrete Funktion aus $\begin{eqnarray} M_c \end{eqnarray}$ angeben?
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11.11.2010, 18:52	Riemannson	Auf diesen Beitrag antworten »
z.B. f(c)=c.....
11.11.2010, 18:54	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Na also. Und dieses f hat welche Nullstellen auf dem Intervall? Und kann nun die erzeugende Funktion $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ (also $\begin{eqnarray} M_c=(g) \end{eqnarray}$ ) außer 0 eine Nullstelle auf dem Intervall I haben?
11.11.2010, 18:57	Riemannson	Auf diesen Beitrag antworten »
erstmal hat f auf I eine Nullstelle wenn c=0, eine weitere nullstelle ist ausgeschlossen....
11.11.2010, 19:03	Riemannson	Auf diesen Beitrag antworten »
aber wie bekomme ich einen widerspruch?
11.11.2010, 19:04	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte drück Dich mal klar aus - Deine Beiträge sind echt nicht leicht zu verstehen. Vor allem mit der Pünktchenschreibweise. Also g kann keine weiteren Nullstellen auf I haben und man kann es sogar so einrichten, dass g positiv ist. Tipp: Damit liegt auch $\begin{eqnarray} \sqrt{g} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} M_c \end{eqnarray}$ . Vergleiche mal das Verhalten von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sqrt{g} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ gegen Null miteinander. Bin für heute weg, aber morgen vormittag wieder da. Gruß, Reksilat.
11.11.2010, 19:21	Riemannson	Auf diesen Beitrag antworten »
sowohl $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ also auch $\begin{eqnarray} \sqrt g \end{eqnarray}$ gehen, für x gegen Null, gegen Null und das heißt was (oh mann keine ahnung) Gruß
11.11.2010, 20:49	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Viertelstunde ist eben manchmal nicht genug, um eine Aufgabe zu lösen. Ich hab das auch nicht sofort gesehen.
12.11.2010, 15:30	Riemannson	Auf diesen Beitrag antworten »
selbst nach einem Tag weiß ich nicht worauf es abzielt.
12.11.2010, 17:44	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Na sehr viele Ideen kommen ja wirklich nicht von Dir. Noch ein Tipp: Angenommen die erzeugende Funktion wäre $\begin{eqnarray} g:x\to x \end{eqnarray}$ . Kann dann zum Beispiel die Funktion $\begin{eqnarray} g_2:x\to \sqrt{x} \end{eqnarray}$ im Ideal $\begin{eqnarray} (g) \end{eqnarray}$ liegen? Wie kann man das verallgemeinern?
13.11.2010, 16:04	Riemannson	Auf diesen Beitrag antworten »
ahh... also zuerst $\begin{eqnarray} \sqrt g \in M_c \end{eqnarray}$ aber $\begin{eqnarray} \sqrt g \notin (g) \end{eqnarray}$ da ja gelten müsste $\begin{eqnarray} \sqrt g= a \cdot g \ \ wobei \ \ a \in R \end{eqnarray}$ Damit die gleichung stimmt, müsste a aber so aussehen: $\begin{eqnarray} a=\frac{1}{\sqrt g \cdot g} \ \ d.h. \ \ a \notin R \end{eqnarray}$ , denn a ist bei Null unstetig und das heißt: dass das ideal, welches von g erzeugt wird, nicht ganz M_c sein kann, da $\begin{eqnarray} \sqrt g \notin (g) \end{eqnarray}$ richtig soweit ?
13.11.2010, 16:19	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Also mit Deinem $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ stimmt noch irgendwas nicht. Außerdem solltest Du noch begründen, warum $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ im Nullpunkt unstetig ist.
13.11.2010, 16:24	Riemannson	Auf diesen Beitrag antworten »
ach klar $\begin{eqnarray} a=\frac {\sqrt g}{g} \end{eqnarray}$ und a ist unstetig, da $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} a = \infty \end{eqnarray}$ so sollte es doch stimmen!
13.11.2010, 16:53	Riemannson	Auf diesen Beitrag antworten »
kann ich dann allg. das diese betrachtung für jedes g anstellen, evtl kann man ja die 3. wurzel nehmen und dann geht das ganze auch mit negativen werten! Also finde ich für jedes g ein "Wurzel g" das in M_c ist aber nicht indem von g erzeugtem ideal!??
13.11.2010, 17:43	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, allgemein geht das nicht für jedes g, da ja zum Beispiel auch die Nullfunktion in $\begin{eqnarray} M_c \end{eqnarray}$ liegt. Aber das ist ja auch nicht nötig, da wir schon alles gezeigt haben. Mit der dritten Wurzel wäre es auch gegangen. Gruß, Reksilat.
13.11.2010, 18:54	Riemannson	Auf diesen Beitrag antworten »
super...recht vielen dank!!! (vllt kannst du auch mal nen blick hierauf werfen: einheiten bestimmen) Gruß
14.11.2010, 10:52	Riemannson	Auf diesen Beitrag antworten »
ich will jetzt noch zeigen dass M_c ein maximales Ideal ist. Also muss der Quotientenring R/M_c ein Körper sein. Ist dann der Quotientenring, der Ring der stetigen Funktionen von I nach $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ für die gilt $\begin{eqnarray} f(c) \not= 0 \end{eqnarray}$ ? Gruß
14.11.2010, 19:27	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Menge $\begin{eqnarray} \{f\in C^0(I)\|f(0)\neq 0\} \end{eqnarray}$ ist nicht mal additiv abgeschlossen. Das wird also nix. Der Quotientenring besteht aus Nebenklassen von $\begin{eqnarray} M_c \end{eqnarray}$ und ist somit nicht einfach irgendeine Menge von Funktionen. Beschäftige Dich also mal damit und überlege, was alles zu zeigen ist. Gruß, Reksilat.
14.11.2010, 21:00	Riemannson	Auf diesen Beitrag antworten »
also besteht der quotientenring aus $\begin{eqnarray} gM_c, \ \ wobei \ \ g \in C^0(I) \end{eqnarray}$ und dann muss ich doch zeigen dass das eine untergruppe von $\begin{eqnarray} C^0(I) \end{eqnarray}$ ist. oder?
15.11.2010, 08:09	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, der Quotientenring $\begin{eqnarray} \{gM_c\|g\in R\} \end{eqnarray}$ ist ja nicht mal eine Teilmenge von $\begin{eqnarray} R=C^0(I) \end{eqnarray}$ - die Elemente sind einfach nicht vergleichbar. Für einen Quotientenring vererben sich allerdings die Ringeigenschaften aus $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ und es ist eben nur noch die Existenz des multiplikativ Inversen zu zeigen.

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