vollständige Induktion einer Summenfunktion

10.11.2010, 20:48

bandchef

vollständige Induktion einer Summenfunktion

Hi Leute!

Ich soll durch vollständige Induktion zeigen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang:

linke Seite: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^1 k^3 = 1 \end{eqnarray*}$
rechte Seite: $\begin{eqnarray*} \frac{n^2(n+1)^2}{4}=1 \end{eqnarray*}$

-> LS=RS

Induktionsschluss:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} \Rightarrow \sum_{k=1}^{n+1} k^3 = \underbrace{\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}}_{\text{=Induktionsvoraussetzung}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} k^3 =\sum_{k=1}^n k^3 +(n+1)= \frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)=...=\frac{(n+1)^2+n^4+2n^3+2n}{4}=... \end{eqnarray*}$ ab hier weiß ich aber jetzt nicht mehr weiter wie ich zur Induktionsvoraussetzung (IV) zurück komme. Könnt ihr mir weiterhelfen?

10.11.2010, 20:53

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: vollständige Induktion einer Summenfunktion
Hast du unsere Unterhaltung in diesem Thread verstanden? Hier ist es nämlich ähnlich.

Dieser Schritt hier ist falsch:

Zitat:

Original von bandchef
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} k^3 =\sum_{k=1}^n k^3 +(n+1)= \dots \end{eqnarray*}$

Der letzte Summand ist nicht (n+1), sondern ...?

11.11.2010, 21:04

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

In unserer letzten Unterhaltung schreibst du das:

$\begin{eqnarray*} \sum^{n+1}_{k=1}k = \underbrace{1 + 2 + \dots + n}_{= \sum\limits^{n}_{k=1}k} + (n+1) = \sum\limits^{n}_{k=1}k + (n+1) \end{eqnarray*}$

Das leuchtet mir ein.

Ich hab jetzt nochmal nachgedacht und bin auf das hier gekommen.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} k^3 =\sum_{k=1}^n k^3 +(n+1)^3=... \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} k^3 \end{eqnarray*}$ steht, muss als Summe dann auch ^3 stehen also: $\begin{eqnarray*} (n+1)^3 \end{eqnarray*}$

Stimmts dann jetzt?

Wenn auch die linke Seite falsch war, was stimmt dann nicht mit der rechten Seite?

Es sieht ja dann jetzt so aus (wobei ich immer noch nicht weiß, was an der rechten Seite falsch ist!):

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} k^3 =\sum_{k=1}^n k^3 +(n+1)^3= \frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)=...=\frac{(n+1)^2+n^4+2n^3+2n}{4}=... \end{eqnarray*}$

11.11.2010, 21:08

Huy

Auf diesen Beitrag antworten »

Du behauptest:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^3 + (n+1)^3 = \frac{n^2 \cdot (n+1)^2}{4} + (n+1) \end{eqnarray*}$ , wobei natürlich $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^3 = \frac{n^2 \cdot (n+1)^2}{4} \end{eqnarray*}$ .

Also rechnen wir auf beiden Seiten minus diese Summe und erhalten: $\begin{eqnarray*} (n+1)^3 = n+1 \end{eqnarray*}$

DAS ist falsch...

MfG

11.11.2010, 21:13

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ok, ich hab vergessen auf der anderen Seite das ^3 hinzumachen...

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} k^3 =\sum_{k=1}^n k^3 +(n+1)^3= \frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3=...=\frac{(n+1)^2+n^4+2n^3+2n}{4}=... \end{eqnarray*}$

Stimmts jetzt?

11.11.2010, 21:21

Kawarider90

Auf diesen Beitrag antworten »

kleiner tipp
bleib einfach beim vorletzten ausdruck und lass den letzten weg

und dann einfach was herausheben

edit: außerdem ist dein letzter Ausdruck völlig falsch

11.11.2010, 21:22

Huy

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht bin ich ja auch blind, aber wie kommst du auf diese Gleichung?

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2 \cdot (n+1)^2}{4} + (n+1)^3 = \frac{(n+1)^2 + n^4 + 2n^3 + 2n}{4} \end{eqnarray*}$

MfG

11.11.2010, 21:22

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

So ich glaub jetzt hab ich's:

Nochmal von vorne:

Ich soll durch vollständige Induktion zeigen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang:

linke Seite: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^1 k^3 = 1 \end{eqnarray*}$
rechte Seite: $\begin{eqnarray*} \frac{n^2(n+1)^2}{4}=1 \end{eqnarray*}$

-> LS=RS

Induktionsschluss:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} \Rightarrow \sum_{k=1}^{n+1} k^3 = \underbrace{\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}}_{\text{=Induktionsvoraussetzung}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} k^3 =\sum_{k=1}^n k^3 +(n+1)^3= \frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3=\frac{n^2(n+1)^2+4(n+1)^3}{4}=\frac{(n+1)^2(n^2+4n+4)}{4}=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4} \text{ q.e.d} \end{eqnarray*}$

11.11.2010, 21:40

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab dann noch eine neue Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} k^2(-1)^{k+1} = (-1)^{n+1}\cdot \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

IA hab ich schon gemacht bin aber grad zu faul das hier reinzuschreiben. Es kommt wieder LS=RS raus.

Meine IV ist:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} k^2(-1)^{k+1} = (-1)^{n+2}\cdot \frac{(n+1)(n+2)}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} k^2(-1)^{k+1} = \sum_{k=1}^{n} k^2(-1)^{k+1} + (n+1)=... \end{eqnarray*}$

Hier hab ich jetzt wieder das Problem, das ich nicht weiß wie ich den Summanden "ergänzen" soll, damit er zur Funktion passt über die aufsummiert werden soll. Ich hab ja jetzt nicht nur ein einzelnes k, sondern einen verschachtelten Ausdruck mit k...

Ich glaub so richtig verstanden hab ich's trotzdem noch nicht... Könnt ihr mir wieder helfen?

11.11.2010, 21:44

Kawarider90

Auf diesen Beitrag antworten »

immer dort wo ein k steht n+1 einsetzen

11.11.2010, 21:49

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

also so:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} k^2(-1)^{k+1} = \sum_{k=1}^{n} (n+1)^2(-1)^{n+2} + (n+1)=... \end{eqnarray*}$

und was muss ich dann zur rechten Seite also $\begin{eqnarray*} (-1)^{n+1}\cdot \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ dazuschreiben?

11.11.2010, 21:55

Kawarider90

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} k^2(-1)^{k+1} = \sum_{k=1}^{n} k^2(-1)^{k+1} + (n+1)^2(-1)^{n+2} \end{eqnarray*}$

so muss das ausschauen

15.11.2010, 20:27

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab jetzt mal weiter gemacht und komme ab diesem Schritt nicht mehr weiter:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} k^2(-1)^{k+1} = \sum_{k=1}^{n} k^2(-1)^{k+1} + (n+1)^2(-1)^{n+2}=(-1)^{n+1}\cdot\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)^2*(-1)^{n+2}=...=\frac{(n+1)((-1)^{n+1}\cdot n+2(n+1)\cdot (-1)^{n+2}}{2)} \end{eqnarray*}$

Wie muss ich hier jetzt weiter umformen?

15.11.2010, 20:42

Kawarider90

Auf diesen Beitrag antworten »

ok jetzt

$\begin{eqnarray*} (n+1)*(-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$

herausheben

15.11.2010, 20:43

Manni Feinbein

Auf diesen Beitrag antworten »

Bis hierhin stimmt's noch:

$\begin{eqnarray*} (-1)^{n+1}\frac{n(n+1)}2+(-1)^{n+2}(n+1)^2. \end{eqnarray*}$

Jetzt klammer mal

$\begin{eqnarray*} (-1)^{n+2}(n+1) \end{eqnarray*}$

aus.

15.11.2010, 20:43

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

was verstehst du unter herausheben?

Falls du ausklammern meinst, das geht ja nicht, da ich unterschiedliche exponenten habe...

15.11.2010, 20:45

Kawarider90

Auf diesen Beitrag antworten »

ja genau ausklammern

aber $\begin{eqnarray*} (-1)^{n+2} \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} (-1)^{n+1}*(-1) \end{eqnarray*}$

15.11.2010, 20:52

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie kapier ich grad das Ausklammern hier nicht. Ich bin jetzt so weit:

$\begin{eqnarray*} (-1)^{n+2} \left ( (-1)^{-1} \frac{n(n+1)}{2}+ (n+1)^2 \right) \end{eqnarray*}$
Stimmt das jetzt so?

15.11.2010, 20:54

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann kann ich jetzt weiter schreiben:

$\begin{eqnarray*} (-1)^{n+2} \left ( - \frac{n(n+1)}{2}+ (n+1)^2 \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-1)^{n+2} \left ( - \frac{n(n+1)+ 2(n+1)^2}{2} \right) \end{eqnarray*}$

15.11.2010, 20:55

Kawarider90

Auf diesen Beitrag antworten »

ja aber wär doch noch besser wenn mann (n+1) gleich mit ausklammern würde oder?

edit: das Minus gilt nicht für den ganzen Bruch

15.11.2010, 20:57

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} (-1)^{n+2} \left ( - \frac{n(n+1)}{2}+ (n+1)^2 \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-1)^{n+2} \left ( - \frac{n(n+1)+ 2(n+1)^2}{2} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-1)^{n+2} \cdot (n+1) \left ( - \frac{n+ 2(n+1)}{2} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-1)^{n+2} \cdot (n+1) \left ( - \frac{3n+2)}{2} \right) \end{eqnarray*}$

So, jetzt aber... Meine IV (auf die ich ja hinaus will) sehe ich aber immer noch nicht...

15.11.2010, 20:58

Kawarider90

Auf diesen Beitrag antworten »

weil du das minus vor den gesamten Bruch setzts
$\begin{eqnarray*} (-1)^{n+2} \cdot (n+1) \left ( \frac{-n+2n+2)}{2} \right) \end{eqnarray*}$

15.11.2010, 21:01

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Hilfe! Jetzt hab ich's geschnallt... Ich werd die Aufgabe bis morgen jetzt mal ruhen lassen und sie dann nochmals alleine versuchen!

Danke an euch!!!

15.11.2010, 21:14

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab dann noch eine Aufgabe:

Hier komm ich aber dann schon gar nicht mit dem IA zurecht:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k \cdot (k+1)} = 1 - \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{LS}=\frac{1}{1\cdot (1+1)}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{RS}=1 - \frac{1}{1} = 0 \end{eqnarray*}$

Daraus würde ja jetzt folgen, dass $\begin{eqnarray*} \text{LS} \neq \text{RS} \end{eqnarray*}$

Was mach ich da jetzt falsch?

Ich vermute, dass ich nicht +1 sonder eine -1 einsetzen muss, aber dann bekomm ich ja auf der linken Seite eine Division durch 0 welche ja nicht definiert ist!

15.11.2010, 21:18

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

auch wenn ich n=1 setze, bekomm ich eine Division durch 0:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{1-1} \frac{1}{0 \cdot (0+1)} = \text{?} \end{eqnarray*}$

15.11.2010, 21:25

Kawarider90

Auf diesen Beitrag antworten »

setz doch mal n=2

wenn es für dieses n erfüllt wird kannst du in gewohnter Manier fortfahren jedoch wurde dann eben bewiesen dass die Gleichung nicht von $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ , sondern von $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ wahr ist

15.11.2010, 21:44

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Tipp, aber wie kommt man da drauf? Ich werd mir die aufgabe morgen nochmal anschaun!

15.11.2010, 22:01

Kawarider90

Auf diesen Beitrag antworten »

wie meinst du das jetzt?

ich hab doch einfach für n=2 eingesetzt
die Gleichung war dann erfüllt
also wende ich die vollständige Induktion auf alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ an

und kann dann eben beweisen dass die Gleichung erfüllt wird für alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$

16.11.2010, 16:37

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab heute nochmal gefragt.

Bei der Aufgabe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k \cdot (k+1)} = 1 - \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist für n=1 die obere Grenze des Summenzeichens kleiner als die untere Grenze. In diesem Fall gilt, dass die Summe = 0 ist. Das is laut meines Profs so festgelegt. Wenn das nun so der Fall ist, dann gilt für meinen IA folgendes:

$\begin{eqnarray*} \text{LS}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{RS}=1 - \frac{1}{1} = 0 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} \text{LS} = \text{RS} \end{eqnarray*}$

Soweit so gut.

Wie aber, mach ich hier jetzt meinen IS? Muss ich jetzt wieder n+1 einsetzen oder etwas anderes?

16.11.2010, 16:42

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich jetzt meinen IS wieder wie gewohnt mit n+1 durchziehe, dann steht jetzt folgendes da:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k \cdot (k+1)} = 1 - \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k \cdot (k+1)} = \underbrace{1 - \frac{1}{n+1}}_{\text{=IV}} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

16.11.2010, 16:49

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich nun die vollständige Induktion durchrechnen möchte beginn ich jetzt so:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k \cdot (k+1)} = \sum\limits_{k=1}^{0} \frac{1}{k \cdot (k+1)} + \frac{1}{n \cdot (n+1)} = 1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n(n+1)}=... \end{eqnarray*}$

Soweit richtig?

16.11.2010, 17:00

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

und hab dann so weitergemacht:

$\begin{eqnarray*} ...=1-\frac{n+2}{n(n+1)} \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie glaub ich mittlerweile hab ich mich verrechnet weil ich nicht wirklich auf meine IV hinkomme...

16.11.2010, 18:12

Kawarider90

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k \cdot (k+1)} = \sum\limits_{k=1}^{0} \frac{1}{k \cdot (k+1)} + \frac{1}{n \cdot (n+1)} = 1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n(n+1)}=... \end{eqnarray*}$

soweit korrekt

jetzt auf den gleichen Nenner bringen
dann hilft ein kleiner Trick $\begin{eqnarray*} n=n+1-1 \end{eqnarray*}$

16.11.2010, 18:31

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich nun das $\begin{eqnarray*} ... = 1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n(n+1)} \end{eqnarray*}$ auf den gleich Nenner bringe, dann krieg ich das hier: $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)-(n+1)+1}{n\cdot (n+1)} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

Und wo soll ich da dann $\begin{eqnarray*} n=n+1-1 \end{eqnarray*}$ anwenden? Ich sehs nicht...

16.11.2010, 18:32

Kawarider90

Auf diesen Beitrag antworten »

16.11.2010, 18:34

Kawarider90

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)-(n+1)+1}{n\cdot (n+1)}=\frac{n^2+n-n-1+1}{n\cdot (n+1)}=\frac{n^2}{n\cdot (n+1)}=\frac{n}{(n+1)} \end{eqnarray*}$

16.11.2010, 18:42

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

So jetzt aber:

$\begin{eqnarray*} ...=\frac{n}{(n+1)}=\frac{n+1-1}{n+1}=\frac{n+1}{n+1}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}\text{ q.e.d} \end{eqnarray*}$

16.11.2010, 19:14

Lucas

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: vollständige Induktion einer Summenfunktion
Hallo bandchef,

also ich kriege hier wieder Ärger wenn ich wieder die Komplettlösung bringe.
Ich versuche es mal so. Dein Fehler liegt zwischen Schritt 3 und 4. Also, dass was man den "Schluß von n auf n+1 nennt".
Ganz kurz:
$\begin{eqnarray*} Sn= 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=\frac{n^{2}*\left(n+1\right) ^{2} }{4} \end{eqnarray*}$

1. $\begin{eqnarray*} n=1: S1=1=\frac{1^{2}*2 ^{2} }{4}=1 \end{eqnarray*}$

2. Sn= siehe oben

3. $\begin{eqnarray*} Sn+1=\frac{\left(n+1\right) ^{2}\left(n+2\right) ^{2} }{4} \end{eqnarray*}$ das, lieber bandchef, ist jetzt mit dem Schluß von n auf n+1 zu beweisen. Siehe hier:

4. $\begin{eqnarray*} Sn+1= 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}+\left(n+1\right) ^{3}=Sn+\left(n+1\right) ^{3}=\frac{n^{2}*\left(n+1\right) ^{2} }{4}+\left(n+1\right) ^{3} \end{eqnarray*}$

So ab hier soll ich nicht mehr weiter, weil dein Carbon jetzt selbst arbeiten soll.

Was ist noch zu tun? Du musst das jetzt noch etwas umformen (ganz einfach) und auf die gleiche Form wie im Schritt 3. (rechte Seite) bringen.
... dann schreibst du w.z.b.w.

L. G. Lucas

Neue Frage »

Antworten »

vollständige Induktion einer Summenfunktion

Verwandte Themen