Grenzwert einer Reihe

11.11.2010, 15:29

r_zeta

Grenzwert einer Reihe

Hallo zusammen,
ich muss den Grenzwert der Reihe
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=0}^n \frac{(-1)^{k} * k }{(k + 1)!} \end{eqnarray*}$
finden. Es sieht zwar wie $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^{k} }{k!} = e \end{eqnarray*}$ aus, aber ich kanns nicht umformen. Danke für Hilfe

11.11.2010, 15:48

klarsoweit

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RE: Grenzwert einer Reihe

Zitat:

Original von r_zeta
Es sieht zwar wie $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^{k} }{k!} = e \end{eqnarray*}$ aus

Erstmal ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} = e^x \end{eqnarray*}$ .

Damit folgt: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k!} = e^x - 1 \end{eqnarray*}$

Verschiebe links den Index, daß die Reihe wieder bei k=0 beginnt.
Noch etwas geeignet umformen und dann nach x ableiten.

11.11.2010, 16:21

r_zeta

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RE: Grenzwert einer Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{0} \frac{(-1)^{k} * k}{(k + 1)!} = \sum\limits_{1} \frac{(-1)^{k} * k}{(k + 1)!} -0 = \sum\limits_{2} \frac{(-1)^{k} \cdot k }{(n + 1)!} - \frac{1}{2} = \sum\limits_{0}\frac{(-1)^{k + 2} \cdot (k + 2) }{(k + 3)!} - \frac{1}{2}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{0}\frac{(-1)^{k} \cdot (k + 2) }{(k + 3)!} - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Sowas gedacht? Bin ich auf dem richtigen Weg?

11.11.2010, 19:34

pablosen

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$\begin{eqnarray*} e^{-1}=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!}=1+\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} \leftrightarrow e^{-1}-1 = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{(k+1)!} \end{eqnarray*}$

Hier müssen wir nur noch dieses k reinbringen. Haben das bisher aber leider noch nicht hingebracht...

11.11.2010, 19:41

tmo

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Wie wärs mit

$\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^kk}{(k+1)!} = \frac{(-1)^k(k+1)}{(k+1)!}+\frac{(-1)^{k+1}}{(k+1)!} \end{eqnarray*}$

Dann muss man auch nichts ableiten.

11.11.2010, 20:43

r_zeta

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Danke, sehr schön

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{0}\frac{(-1)^{k}(k + 1)}{(k + 1)!}+\sum\limits_{0}\frac{(-1)^{k + 1}}{(k + 1)!}=\sum\limits_{1}\frac{(-1)^{k - 1}k}{k!}+<br /> \sum\limits_{1}\frac{(-1)^{k}}{k!}= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\sum\limits_{1} \frac{(-1)^{k}k}{k!} + <br /> \sum\limits_{1} \frac{(-1)^{k}}{k!} =<br /> -\sum\limits_{0} \frac{(-1)^{k}k}{k!} - 0 +<br /> \sum\limits_{0} \frac{(-1)^{k}}{k!} - 1 = \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{0} \frac{x^{k}k}{k!} = xe^{x} \end{eqnarray*}$ ist der Grenzwert
$\begin{eqnarray*} -(-e^{-1}) + e^{-1} - 1 = \frac{2}{e} - 1 \end{eqnarray*}$

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