Extremwertaufgabe |
| 18.06.2004, 09:01 | Peter862 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Extremwertaufgabe
Von einer Trafostation, die an einer geraden Straße steht, soll ein Stromkabel zu einem Haus verlegt werden. Die kürzeste Entfernung (der Normalabstand) des Hauses von der Straße beträgt 300m, die Luftlinie Trafostation - Haus 500m. Wie ist die Leitung zu verlegen, damit die Kosten, die längs der Straße 30 € pro m und querfeldein 50 € pro m betragen, minimal werden. Wie hoch ist die Kostenersparnis gegenüber einer Verlegung längs der Luftlinie? Zusatz: Diese Aufgabe ist auf 2 Arten zu lösen. 
Bitte kann mir wer ein paar Tipps geben? |
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| 19.06.2004, 13:26 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi, von der Trafostation T bis zum Fusspunkt F der kürzesten Verbindungsline des Hauses H bis zur Straße sind es 400 m (denn T,F,H bilden ein rechtwinkeliges Dreieck, 500² = 400² + 300²). Der Abzweigpunkt an der Straße sei A, AF bezeichnen wir mit x, demzufolge ist TA = 400 - x. Damit läßt sich nun - in Abhängigkeit von x - die Kostenfunktion k(x) als Zielfunktion aufstellen: k(x) = 300*(400 - x)+ 50*sqrt(x² + 90000) Deren Ableitung: k'(x) = -30 + 50*(2x)/(2*sqrt(x² + 90000)) Null setzen: 5x/(sqrt(x² + 90000)) = 3 25x² = 9*(x² + 90000) 16x² = 810000 4x = 900 x = 225 m °°°°°°°°°°°° TA = 400 - 225 Man muss also 175 m nach der Trafostation von der Straße ins Feld abzweigen! Mittels der 2. Ableitung ist noch auf Maximum zu prüfen, sie muss bei x = 225 kleiner als Null sein. Die Kosten betragen daher k(225) = 24000.- €, in der Luftlinie würden sie 500*50 = 25000.- € betragen. Und was die Lösung auf 2 Arten betrifft: Viele wären froh, wenn sie es wenigstens auf EINE Art zusammenbrächten .... möglicherweise geht's auch über die Winkel. Gr mYthos |
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| 26.06.2004, 20:57 | peter862 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich danke dir! 
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| 28.06.2004, 13:00 | j3t | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hat sich erledigt. |
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