Minoranten bestimmen

11.11.2010, 17:17

Peter Neumayr

Minoranten bestimmen

Ich muss für folgende Reihen jeweis eine gute Abschätzung nach unten finden, um die Divergenz mit dem Minorantenkriterium nachzuweisen.

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{cos(pi*n) + n }{n} \end{eqnarray*}$

Mir ist schon klar, dass die Reihe 1 + $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} + \frac{2}{3} + \frac{5}{4} + \frac{4}{5} + ... \end{eqnarray*}$ divergent ist, allerdings komm ich einfach nicht drauf, was ich machen könnte.

Ähnlich bei:

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{n + n^2}{n^3 + 2} \end{eqnarray*}$

Ich hab versucht es umzuformen, aber irgendwie bringt mich das auch nicht weiter.

Kann mir jemand helfen?

Danke

11.11.2010, 18:20

Huy

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Ich nehme mal an, dass a_n eine Folge sein soll und du die Reihe nie explizit aufgeschrieben hast. Bei der ersten Aufgabe gilt zu zeigen, dass:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \leq \frac{\cos(\pi \cdot n) + n}{n} \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ divergiert.

$\begin{eqnarray*} \frac{\cos(\pi \cdot n) + n}{n} = \frac{\cos(\pi \cdot n)}{n} + 1 = \frac{(-1)^n}{n} + 1 \geq \frac{1}{n}, \;\; \forall n \in \mathbb{N}, n > 1 \end{eqnarray*}$

Bei der zweiten Folge würde ich das genauso machen, d.h. zeigen, dass:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \leq \frac{n + n^2}{n^3+2} \end{eqnarray*}$

MfG

11.11.2010, 18:28

René Gruber

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Bei der ersten Reihe braucht man gar nicht das Minorantenkriterium, die Divergenz ist aufgrund einer viel grundsätzlicheren Tatsache klar:

$\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen 1, ist damit nicht mal eine Nullfolge, wie es aber notwendig (!) für ein Reihenglied wäre bei konvergenten Reihen.

P.S.: Nichtsdestotrotz kann man es natürlich auch mit dem Minorantenkriterium tun, das ist ja deswegen noch nicht falsch. Augenzwinkern

11.11.2010, 19:33

Peter Neumayr

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Zitat:

Original von Huy
Ich nehme mal an, dass a_n eine Folge sein soll und du die Reihe nie explizit aufgeschrieben hast. Bei der ersten Aufgabe gilt zu zeigen, dass:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \leq \frac{\cos(\pi \cdot n) + n}{n} \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ divergiert.

$\begin{eqnarray*} \frac{\cos(\pi \cdot n) + n}{n} = \frac{\cos(\pi \cdot n)}{n} + 1 = \frac{(-1)^n}{n} + 1 \geq \frac{1}{n}, \;\; \forall n \in \mathbb{N}, n > 1 \end{eqnarray*}$

Bei der zweiten Folge würde ich das genauso machen, d.h. zeigen, dass:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \leq \frac{n + n^2}{n^3+2} \end{eqnarray*}$

MfG

Ok, das erste hab ich verstanden, aber die Behauptung für die zweite Folge

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \leq \frac{n + n^2}{n^3+2} \end{eqnarray*}$

ist ja falsch, oder etwa nicht? Für $\begin{eqnarray*} n > 4 \end{eqnarray*}$ passt es nicht mehr.

Ich habe mal versucht, die Folge auf die verschiedensten Weisen umzuschreiben, zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} \frac{n + n^2}{n^3+2} = \frac{n^3 + n^4}{n^5+2n^2} = \frac{1}{n^2+2/n} + \frac{1}{n+2/n^2} \end{eqnarray*}$

aber irgendwie ist es mir nicht möglich, wie dir bei der ersten einen passenden Ausdruck zu bekommen.

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