Folge + Cauchy konvergiert

14.11.2006, 18:37

SilverBullet

Folge + Cauchy konvergiert

Hallo ich stehe hier vor dieser Aufgabe und weiß einfach nicht wie ich da überhaupt anfangen soll.

Zunächst einmal die Aufgabe :

Zitat:

Beweise mit dem Cauchy-Kriterium :

Die Folge $\begin{eqnarray*} (a_k)_{k \geq 0} \end{eqnarray*}$ konvergiert, wenn es ein $\begin{eqnarray*} q \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt mit 0 < q < 1 und
$\begin{eqnarray*} \mid a_{k+1} - a_k\mid \leq q \mid a_k - a_{k-1} \mid \end{eqnarray*}$ für alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} k \geq 1 \end{eqnarray*}$

So also eines vorweg ich komme noch garnicht richtig mit konvergenz beweisen klar und das Cauchy-Krit. ist mir zwar bekannt jedoch nicht wie man es beispielhaft anwendet. Darum diese Aufgabe.

Also $\begin{eqnarray*} \mid a_{k+1} - a_k\mid \leq q \mid a_k - a_{k-1} \mid \end{eqnarray*}$ drückt ja anscheinend aus das $\begin{eqnarray*} a_{k+1} < a_k \end{eqnarray*}$ also das meine Folge monoton fällt. Stimmt das soweit ? Muss ich nun irgendwie zeigen das sie gegen einen Wert konvergiert ? Wie fange ich da an ?

Lieben Gruß an alle
Silver

14.11.2006, 19:02

H4wk

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Das stimmt so nicht. In dieser Form zeigt das Cauchykriterium, dass
$\begin{eqnarray*} |a_{k+1}-a_k|~ <~ |a_k - a_{k-1}| \end{eqnarray*}$ also der Abstand
zwischen den einzelnen Folgengliedern immer weiter abnimmt.

Eine weitere Möglichkeit das Cauchykriterium zu Formulieren ist folgnde:
$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 ~ \exists n > 0 \colon |a_{n+1}-a_n| < \varepsilon, ~\forall n \geq N_0 \end{eqnarray*}$

14.11.2006, 19:29

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von H4wk
Eine weitere Möglichkeit das Cauchykriterium zu Formulieren ist folgnde:
$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 ~ \exists n > 0 \colon |a_{n+1}-a_n| < \varepsilon, ~\forall n \geq N_0 \end{eqnarray*}$

Das ist falsch! Siehe $\begin{eqnarray*} a_n=\sum_{k=1}^n~\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ .

@SilverBullet
Du sollst ja zeigen, dass die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine Cauchyfolge ist. Wie ist denn das Kriterium dafür?

Gruß MSS

14.11.2006, 20:19

SilverBullet

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re
So bin wieder da Big Laugh

Erst mal danke für die Antworten.

Ok probieren wir es mal step by step.

Also das Cauchy-Kriterium für Reihen lautet :
Meine Reihe ist genau dann konvergent wenn gilt :
Für alle € > 0 existiert ein N $\begin{eqnarray*} \geq 1 \end{eqnarray*}$ ,sodass für alle : m > n > N gilt :
$\begin{eqnarray*} \mid \sum_{k={n+1}}^m~a_k \mid < \end{eqnarray*}$ €

Nun frag ich mich was das genau aussagt ?
Es scheint ja ein Abstand zu sein der kleiner sein muss als ein beliebig gewählter Abstand €.
Also vermutlich der summierste Abstand der Folge $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ , also wenn ak eine Nullfolge ist dann gibt es stets ein N sodass die Folge kleiner als jedes gewählte € wird.

Hoffe das stimmt so. Und wenn ja wär nen Tipp zur Anwendung super.

mfg
silver

14.11.2006, 20:28

Mathespezialschüler

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Es geht hier um eine Folge und nicht um eine Reihe! Wie lautet das Cauchy-Kriterium für Folgen?

Gruß MSS

14.11.2006, 20:41

SilverBullet

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aha
aha also nun sehe ich zumindest schonmal ein Bezug zur Aufgabe.

Cauchy für Folgen :

Eine Folge Reeller Zahlen heißt Cauchy Folge wenn gilt :
Zu jedem € > 0 existiert ein $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ,so dass

$\begin{eqnarray*} \mid a_n -a \mid < \end{eqnarray*}$ €\2 für alle $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$

Für alle n,m >= N gilt dann

$\begin{eqnarray*} \mid a_n - a_m \mid = \mid (a_n - a) - (a_m - a) \mid \leq \mid a_n - a \mid + \mid a_m - a \mid < \end{eqnarray*}$ €/2 + €/2 = €

Also das sieht ja ziemlich ähnlich aus. Muss ich irgendwie die rechte seite rüber bringen, sodass mein q rechts alleine steht und damit mein € wär ?

mfg
Silver

14.11.2006, 20:44

Mathespezialschüler

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Das stimmt nicht. Das ist die Herleitung der Aussage " $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ konvergent $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ Cauchy-Folge". Die Definition einer Cauchy-Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} \forall\ \varepsilon>0\ \exists\ N\in\mathbb N\ \forall\ m,n>N\ :\ |a_n-a_m|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Das musst du jetzt zeigen.

Gruß MSS

14.11.2006, 20:54

SilverBullet

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ok
OK also ich muss nun irgendwie meine meine Folge umstellen ?
kann ich z.b. sagen dass $\begin{eqnarray*} \mid a_{k+1} - a_k \mid = a_n \end{eqnarray*}$

Oder muss ich da einfach irgendwie kürzen ?

Sorry das ich mich so doof anstelle aber ich hab noch einfach keinen Durchblick unglücklich

14.11.2006, 20:56

Mathespezialschüler

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Warum sollte das gelten? Und was willst du da kürzen???

Gruß MSS

14.11.2006, 21:02

SilverBullet

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re
naja laut Kriterium soll ich mir ja ein n und ein m wählen.
und $\begin{eqnarray*} \mid a_{k+1} - a_k \mid \end{eqnarray*}$ ist ja der abstand von $\begin{eqnarray*} a_{k} \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} a_{k+1} \end{eqnarray*}$ und das wäre doch ein beliebig gewähltes m... Das gleiche gilt dann für n welches durch $\begin{eqnarray*} a_k - a_{k-1} \end{eqnarray*}$ angegeben wäre wenn es so klappen würde ^^

14.11.2006, 21:17

Mathespezialschüler

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Du sollst dir ein $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ wählen, ja. Aber du sollst dir ja nicht irgendeines wählen, sondern eines, das eine bestimmte Bedinung erfüllt ...
Ein kleiner Tipp: Letztendlich geht es ja darum, den Betrag $\begin{eqnarray*} |a_m-a_n| \end{eqnarray*}$ beliebig klein zu machen. Betrachte erstmal für beliebige $\begin{eqnarray*} m,n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ den Term $\begin{eqnarray*} |a_m-a_n| \end{eqnarray*}$ und nimm an, dass $\begin{eqnarray*} m>n \end{eqnarray*}$ ist. Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} |a_m-a_n|=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+a_{m-2}\mp\ldots+a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n| \end{eqnarray*}$ .

Klammere jetzt geeignet und wende dann die Dreiecksungleichung an, um auf Terme der Form $\begin{eqnarray*} |a_{j+1}-a_j| \end{eqnarray*}$ zu kommen.

Gruß MSS

14.11.2006, 21:53

SilverBullet

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omg
es wird immer komplizierter ok hmm ich probier das erstmal zu verstehen..

also du hast $\begin{eqnarray*} |a_m-a_n| \end{eqnarray*}$ genommen und dann einfach mit +1 erweitert und dann um das wieder auszugleichen mit -1... also z.b.
$\begin{eqnarray*} ....-a_{n+1}+a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Oh gott das wird echt irgendwie zu kompliziert ich will es ja unbedingt verstehen aber weiß einfach nicht wie...

Gibts nicht irgend ein Workshop dazu ? Hab leider keinen gefunden unglücklich

14.11.2006, 22:20

Mathespezialschüler

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Workshop wozu? Du kannst jetzt schreiben:

$\begin{eqnarray*} |a_m-a_n|=|(a_m-a_{m-1})+(a_{m-1}-a_{m-2})\mp\ldots+(a_{n+2}-a_{n+1})+(a_{n+1}-a_n)| \end{eqnarray*}$ .

Verstehst du das? Wenn nein, dann werd ich das nochmal an einem Beispiel verdeutlichen.

Gruß MSS

14.11.2006, 22:25

SilverBullet

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re
Ok also das du mit "+1" und "-1" erweitert hast stimmt ?
Durch das Klammern habe ich ja quasi die Aussage wie in der Aufgabe :

$\begin{eqnarray*} |a_m-a_n|=|(a_m-a_{m-1})....(a_{n+1}-a_n)| \end{eqnarray*}$ .

Nun frage ich mich was mit den Teilen in der Mitte ist (da wo ich ... geschrieben hab).
Die muss ich ja irgendwie wieder wegbekommen

Edit : Bzw. ist nicht der Mittelteil den ich wegbekommen muss nicht kleiner als

$\begin{eqnarray*} |(a_m-a_{m-1})-(a_{n+1}-a_n)| \end{eqnarray*}$ .
Weil das ist ja quasi das größte Glied - dem kleinsten hmm

14.11.2006, 22:31

Mathespezialschüler

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Nein, Wegbekommen ist nicht das, was wir wollen. Und ich habe nicht $\begin{eqnarray*} +1-1 \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} +a_{m-1}-a_{m-1} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} +a_{m-2}-a_{m-2} \end{eqnarray*}$ , ... und $\begin{eqnarray*} +a_{n+1}-a_{n+1} \end{eqnarray*}$ gerechnet. Man kann das auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} |a_m-a_n|=|(a_m-a_{m-1})+(a_{m-1}-a_{m-2})\mp\ldots+(a_{n+2}-a_{n+1})+(a_{n+1}-a_n)| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\left|\sum_{k=n}^{m-1}~(a_{k+1}-a_k)\right| \end{eqnarray*}$

Nun denke an die Dreiecksungleichung.

Gruß MSS

14.11.2006, 22:51

SilverBullet

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hmm
Ok aus der Dreiecksungleichung folgt :

$\begin{eqnarray*} \left|\sum_{k=n}^{m-1}~(a_{k+1}-a_k)\right| \leq \sum_{k=n}^{m-1}~|(a_{k+1}-a_k)|<q \end{eqnarray*}$

Also damit dann :

$\begin{eqnarray*} |(a_m-a_{m-1})+(a_{m-1}-a_{m-2})\mp\ldots+(a_{n+2}-a_{n+1})+(a_{n+1}-a_n) | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq |(a_m-a_{m-1})|+|(a_{m-1}-a_{m-2})|\mp\ldots+|(a_{n+2}-a_{n+1})|+|(a_{n+1}-a_n) |<q \end{eqnarray*}$

Was sagt mir das nun ? Also die Ganze Folge ist kleiner als die einzelnen Beträge der Glieder und damit ist die Folge konvergent ?

edit: Hab deinen Latex-Code mal auseinandergezogen und den Thread wieder etwas schmaler gemacht. Ist hoffentlich ok für dich?! (MSS)

14.11.2006, 23:02

Mathespezialschüler

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Nein, das sagt dir natürlich noch lange nicht, dass die Folge konvergiert!!
Du kannst jetzt aber $\begin{eqnarray*} |a_{k+1}-a_k|\leq q|a_k-a_{k-1}| \end{eqnarray*}$ benutzen. Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} |a_{n+2}-a_{n+1}|\leq q|a_{n+1}-a_n| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |a_{n+3}-a_{n+2}|\leq q|a_{n+2}-a_{n+1}|\leq q^2|a_{n+1}-a_n| \end{eqnarray*}$

...

$\begin{eqnarray*} |a_{n+k+1}-a_{n+k}|\leq q|a_{n+k}-a_{n+k-1}|\leq\ldots\leq q^k|a_{n+1}-a_n| \end{eqnarray*}$ .

Nun gilt:

$\begin{eqnarray*} \left|\sum_{k=n}^{m-1}~(a_{k+1}-a_k)\right|\leq\sum_{k=n}^{m-1}~|a_{k+1}-a_k|=\sum_{k=0}^{m-n-1}~|a_{n+k+1}-a_{n+k}| \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kannst du die Ungleichung oben anwenden.

Gruß MSS

14.11.2006, 23:32

SilverBullet

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hm
da macht es noch nicht ganz kling bei mir.

Warum darf ich denn $\begin{eqnarray*} |a_{k+1}-a_k|\leq q|a_k-a_{k-1}| \end{eqnarray*}$ anwenden ?

Klar ich hab gesagt dass :
$\begin{eqnarray*} \left|\sum_{k=n}^{m-1}~(a_{k+1}-a_k)\right| \leq \sum_{k=n}^{m-1}~|(a_{k+1}-a_k)|<q \end{eqnarray*}$

Aber wer sagt denn das wenn ich $\begin{eqnarray*} q|a_k-a_{k-1}| \end{eqnarray*}$ anwende, dies nicht kleiner wird als $\begin{eqnarray*} |a_{k+1}-a_k| \end{eqnarray*}$
Immerhin ist 0 < q < 1.

Also z.b. q = 0.5, => 2 < 3 < 0.5 => 2< 0.5 |3| => 2 < 1.5

Hoffe du versteht was ich probiere hier auszudrücken

Edit : Sei mir nicht böse aber mein Kopf brummt so sehr. Ich werd mich erstmal schlafen legen und direkt morgen früh nochmal probieren alles durchzugehen. Erstmal vielen lieben dank an dich für deine Bemühungen ich weiß ich bin ein wenig schwer von Begriff unglücklich

Bis morgen ^^

14.11.2006, 23:37

Mathespezialschüler

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Ich verstehe nicht genau, was du machst. Aber diese Ungleichung gilt nach Voraussetzung:

Zitat:

Original von SilverBullet
Zunächst einmal die Aufgabe :

Zitat:

.

Gruß MSS

15.11.2006, 12:09

SilverBullet

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re
So also ich komme irgendwie nur
bis :

Zitat:

Nein, das sagt dir natürlich noch lange nicht, dass die Folge konvergiert!!
Du kannst jetzt aber $\begin{eqnarray*} |a_{k+1}-a_k|\leq q|a_k-a_{k-1}| \end{eqnarray*}$ benutzen. Daraus folgt:

Wenn ich das doch auf mein :

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |(a_m-a_{m-1})+(a_{m-1}-a_{m-2})\mp\ldots+(a_{n+2}-a_{n+1})+(a_{n+1}-a_n) | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq |(a_m-a_{m-1})|+|(a_{m-1}-a_{m-2})|\mp\ldots+|(a_{n+2}-a_{n+1})|+|(a_{n+1}-a_n) |<q \end{eqnarray*}$

anwende. Folgt:

$\begin{eqnarray*} |a_{n+2}-a_{n+1}|\leq q|a_{n+1}-a_n| \end{eqnarray*}$

Aber wo sind denn da drin meine :
$\begin{eqnarray*} |(a_m-a_{m-1})|+|(a_{m-1}-a_{m-2})|\mp\ldots+ \end{eqnarray*}$

Und wie kommt man auf die 3te Folge in :

$\begin{eqnarray*} \left|\sum_{k=n}^{m-1}~(a_{k+1}-a_k)\right|\leq\sum_{k=n}^{m-1}~|a_{k+1}-a_k|=\sum_{k=0}^{m-n-1}~|a_{n+k+1}-a_{n+k}| \end{eqnarray*}$ .

mfg
Silver

15.11.2006, 14:41

heimlicher zuhörer

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bei der dritten folge, veränderst du ja einfach den startwert vom laufindex von n auf 0, und wenn du eher anfängst muss du ja auch eher aufhören und über einen anderen bereich summieren ...

15.11.2006, 17:21

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von SilverBullet
Wenn ich das doch auf mein :

Zitat:

anwende. Folgt:

$\begin{eqnarray*} |a_{n+2}-a_{n+1}|\leq q|a_{n+1}-a_n| \end{eqnarray*}$

Was wendest du da denn an? Ich sehe nicht, dass du irgendeine Voraussetzung anwendest. Mir ist absolut schleierhaft, was du da überhaupt benutzt.

Gruß MSS

15.11.2006, 17:30

SilverBullet

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alles klaro
Alles klaro ist glaub ich ne Indexverschiebung nicht ?

Zitat:

Jetzt kannst du die Ungleichung oben anwenden.

Ok also ist ja quasi nur :

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{m-n-1}~|a_{n+k+1}-a_{n+k}| \leq q\sum_{k=0}^{m-n-1}~|a_{n+k}-a_{n+k-1}| \end{eqnarray*}$

Also so wäre es dann wenn ich dir Ungleichung drauf anwende...
Hmm durchblick noch nicht warum so die Konvergenz gezeigt ist.

Edit : Ups hast ja geantwortet...
Ja oben bei der Frage hab ich nur wiedergegeben du oben geschrieben hast...
Versteh da halt nicht wo die Teile aus der Mitte hin sind.

mfg
Silver

15.11.2006, 17:34

Mathespezialschüler

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Ja, ist eine Indexverschiebung.
Sorry, ich meinte eigentlich die folgenden Ungleichungen.

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
$\begin{eqnarray*} |a_{n+2}-a_{n+1}|\leq q|a_{n+1}-a_n| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |a_{n+3}-a_{n+2}|\leq q|a_{n+2}-a_{n+1}|\leq q^2|a_{n+1}-a_n| \end{eqnarray*}$

...

$\begin{eqnarray*} |a_{n+k+1}-a_{n+k}|\leq q|a_{n+k}-a_{n+k-1}|\leq\ldots\leq q^k|a_{n+1}-a_n| \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

15.11.2006, 17:45

SilverBullet

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ok
Ist doch eigentlich das selbe nur das ne Summe vorsteht oder? hmm...

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{m-n-1}~|a_{n+k+1}-a_{n+k}| \leq q \sum_{k=0}^{m-n-1}~|a_{n+k}-a_{n+k-1}| \leq ... \leq q^k \sum_{k=0}^{m-n-1}~|a_{n+1} - a_{n}| \end{eqnarray*}$

So hast du das gemeint oder ?

15.11.2006, 17:58

Mathespezialschüler

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Nein, du solst das ja auf jeden Summanden einzeln anwenden! $\begin{eqnarray*} q^k \end{eqnarray*}$ hängt doch von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ab, also vom Laufindex! Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{m-n-1}~|a_{n+k+1}-a_{n+k}|\leq \sum_{k=0}^{m-n-1}~q^k|a_{n+1}-a_n|=|a_{n+1}-a_n|\cdot\sum_{k=0}^{m-n-1}~q^k \end{eqnarray*}$ .

Kommt dir die letzte Summe vielleicht bekannt vor?

Gruß MSS

15.11.2006, 18:25

SilverBullet

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hm
Hm ja ok also

$\begin{eqnarray*} |a_{n+1}-a_n|\cdot\sum_{k=0}^{m-n-1}~q^k \end{eqnarray*}$ .

die linke Seite ist ja Quasi schon aus meinem Term. Es steht nicht mehr in der Summe weil es nicht mehr von k abhängt.

Wenn ich nun die Summe von $\begin{eqnarray*} q^k \end{eqnarray*}$ bilde erhalte ich ja : 0, q, q² ,usw...

Aber da doch nun keine Summe mehr da ist wie komme ich dann auf meinen Term ?

15.11.2006, 18:30

Mathespezialschüler

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Du erhältst die Summe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{m-n-1}~q^k=q^0+q^1+q^2+\ldots+q^{m-n-1}=1+q+q^2+\ldots+q^{m-n-1} \end{eqnarray*}$ .

Sagt dir der Begriff geometrische Summenformel o.Ä. etwas? Augenzwinkern

Gruß MSS

15.11.2006, 18:46

SilverBullet

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naja
Naja kenne (bzw. hab schonmal gehört) die geometrische Reihe.

Umgeformt bedeutet das doch dann $\begin{eqnarray*} \frac {1} {1-q} \end{eqnarray*}$

Was besagt dies nun ? Habe ja gegeben das 0<q<1 ist also je kleiner q wird desto näher komme ich der 1.

Also ist meine Folge konvergent und nach oben durch 1 beschränkt ?

15.11.2006, 18:53

Mathespezialschüler

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Nein, das ist falsch. Korrekt ist:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{m-n-1}~q^k=1+q+q^2+\ldots+q^{m-n-1}=\frac{1-q^{m-n}}{1-q} \end{eqnarray*}$ .

Der letzte Term ist nun $\begin{eqnarray*} <\frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ . Du hast nun also:

$\begin{eqnarray*} |a_m-a_n|\leq |a_{n+1}-a_n|\cdot \sum_{k=0}^{m-n-1}~q^k<|a_{n+1}-a_n|\cdot \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kannst du noch benutzen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} |a_{n+1}-a_n|\leq q^n\cdot |a_1-a_0| \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

15.11.2006, 19:09

SilverBullet

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$\begin{eqnarray*} |a_{n+1}-a_n|\leq q^n\cdot |a_1-a_0| \end{eqnarray*}$ .

Was genau versteh ich denn unter $\begin{eqnarray*} a_1 und a_0 \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |a_{n+1}-a_n|\leq q^n\cdot |a_1-a_0| \end{eqnarray*}$ .

Sollte das nicht
$\begin{eqnarray*} |a_{n+1}-a_n|\leq q^n\cdot |a_n-a_{n-1}| \end{eqnarray*}$ .
sein ?

Wahrscheinlich nicht aber woher haste das dann ?

15.11.2006, 19:21

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ ist das erste Folgenglied, $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ das zweite und $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eben das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te. Es gilt doch:

$\begin{eqnarray*} |a_{n+1}-a_n|\leq q|a_n-a_{n-1}|\leq q^2|a_{n-1}-a_{n-2}|\leq q^3|a_{n-2}-a_{n-3}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq \ldots\leq q^n|a_{n-(n-1)}-a_{n-n}|=q^n|a_1-a_0| \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

15.11.2006, 19:33

SilverBullet

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} |a_m-a_n|\leq |a_{n+1}-a_n|\cdot \sum_{k=0}^{m-n-1}~q^k<|a_{n+1}-a_n|\cdot \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kannst du noch benutzen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} |a_{n+1}-a_n|\leq q^n\cdot |a_1-a_0| \end{eqnarray*}$ .

Ok also wenn a1 das erste ist folgt daraus :

$\begin{eqnarray*} |a_m-a_n|\leq |a_{n+1}-a_n|\cdot \sum_{k=0}^{m-n-1}~q^k<|a_{n+1}-a_n|\cdot \frac{1}{1-q} <\frac {1} {1-q} |a_1-a_0| \end{eqnarray*}$ .

Also wird mein Term im Verlauf immer kleiner ?

15.11.2006, 20:16

Mathespezialschüler

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Wo hast du denn das $\begin{eqnarray*} q^n \end{eqnarray*}$ gelassen?

$\begin{eqnarray*} |a_m-a_n|<|a_{n+1}-a_n|\cdot \frac{1}{1-q}\leq \frac{|a_1-a_0|}{1-q}\cdot q^n \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kommen wir endlich zur Cauchyfolgeneigenschaft, die da war:

$\begin{eqnarray*} \forall\ \varepsilon>0\ \exists\ N\in\mathbb N\ \forall\ m,n>N\ :\ |a_n-a_m|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Sei also $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig. Jetzt kannst du so ein $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ finden und dabei die obige Abschätzung benutzen.

Gruß MSS

15.11.2006, 20:34

SilverBullet

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hum
Also nun muss ich das Chauchy Kriterium auf

$\begin{eqnarray*} \frac{|a_1-a_0|}{1-q}\cdot q^n \end{eqnarray*}$ .

anwenden ? Dachte die ganze Zeit das mein q das Epsilon (wie macht man das in Latex?) ersetzt ?!

15.11.2006, 20:42

Mathespezialschüler

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Nein, du musst es immer noch auf $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ anwenden, aber diese Abschätzung hilft dir dabei. Und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ersetzt dein $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ auch nicht!
Die "Hilfsfolge"

$\begin{eqnarray*} b_n=\frac{|a_1-a_0|}{1-q}\cdot q^n \end{eqnarray*}$

ist ja eine Nullfolge (mit durchgängig positiven Gliedern). D.h. zu vorgegebenem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} n>N \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} b_n<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Nun gilt ja für alle $\begin{eqnarray*} m,n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m>n>N \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |a_m-a_n|<b_n \end{eqnarray*}$ .

Was folgt dann daraus?

Gruß MSS

PS: Klicke auf Zitat und guck dir dann an, wie Latex-Codes aussehen. Augenzwinkern

15.11.2006, 20:53

SilverBullet

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Zitat:

Nun gilt ja für alle $\begin{eqnarray*} m,n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m>n>N \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |a_m-a_n|<b_n \end{eqnarray*}$ .

Was folgt dann daraus?

Naja das hast du ja schon gezeigt, es folgt

$\begin{eqnarray*} |a_m-a_n|<\frac{|a_1-a_0|}{1-q}\cdot q^n<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Also ist gezeigt, dass die Folge gegen 0 konvergiert.

EDIT : Hör mal das ist total unübersichtlich unglücklich

Hast du was dagegen wenn ich alles nochmal zusammentrage als Lösung und du schaust mal ob das so ok ist. Vielleicht sind da ein paar Sachen drin die man weglassen kann, wäre jedenfalls gut da es sonst extrem viel ist.
Also zumindest hab ich das Gefühl da noch was reingebracht zu haben was nicht rein soll *hum*

15.11.2006, 20:55

Mathespezialschüler

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Nein, das zeigt, dass die Folge eine Cauchyfolge ist und damit konvergiert! Es zeigt aber nicht, dass sie gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ konvergiert!
Am besten du schreibst dir jetzt alles in der richtigen Reihenfolge nochmal geordnet auf und versuchst, dabei alles noch einmal nachzuvollziehen.

Gruß MSS

15.11.2006, 21:05

SilverBullet

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Ok nochmal komplett
Wir betrachten erst einmal für beliebige $\begin{eqnarray*} m,n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ den Term $\begin{eqnarray*} |a_m-a_n| \end{eqnarray*}$ und nehmen an, dass $\begin{eqnarray*} m>n \end{eqnarray*}$ ist. Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} |a_m-a_n|=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+a_{m-2}\mp\ldots+a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =|(a_m-a_{m-1})+(a_{m-1}-a_{m-2})\mp\ldots+(a_{n+2}-a_{n+1})+(a_{n+1}-a_n)| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\left|\sum_{k=n}^{m-1}~(a_{k+1}-a_k)\right| \end{eqnarray*}$

Ok aus der Dreiecksungleichung folgt :

$\begin{eqnarray*} \left|\sum_{k=n}^{m-1}~(a_{k+1}-a_k)\right| \leq \sum_{k=n}^{m-1}~|(a_{k+1}-a_k)|<q \end{eqnarray*}$

Also damit dann :

$\begin{eqnarray*} |(a_m-a_{m-1})+(a_{m-1}-a_{m-2})\mp\ldots+(a_{n+2}-a_{n+1})+(a_{n+1}-a_n) | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq |(a_m-a_{m-1})|+|(a_{m-1}-a_{m-2})|\mp\ldots+|(a_{n+2}-a_{n+1})|+|(a_{n+1}-a_n) |<q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{m-n-1}~|a_{n+k+1}-a_{n+k}|\leq \sum_{k=0}^{m-n-1}~q^k|a_{n+1}-a_n|=|a_{n+1}-a_n|\cdot\sum_{k=0}^{m-n-1}~q^k \end{eqnarray*}$ .

Durch anwenden von $\begin{eqnarray*} |a_{k+1}-a_k|\leq q|a_k-a_{k-1}| \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} |a_{n+2}-a_{n+1}|\leq q|a_{n+1}-a_n| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |a_{n+3}-a_{n+2}|\leq q|a_{n+2}-a_{n+1}|\leq q^2|a_{n+1}-a_n| \end{eqnarray*}$

...

$\begin{eqnarray*} |a_{n+k+1}-a_{n+k}|\leq q|a_{n+k}-a_{n+k-1}|\leq\ldots\leq q^k|a_{n+1}-a_n| \end{eqnarray*}$ .

Nun gilt:

$\begin{eqnarray*} \left|\sum_{k=n}^{m-1}~(a_{k+1}-a_k)\right|\leq\sum_{k=n}^{m-1}~|a_{k+1}-a_k|=\sum_{k=0}^{m-n-1}~|a_{n+k+1}-a_{n+k}| \end{eqnarray*}$

Weiter gilt nun durch anwenden der gezeigen UngleichungEN :

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{m-n-1}~|a_{n+k+1}-a_{n+k}|\leq \sum_{k=0}^{m-n-1}~q^k|a_{n+1}-a_n|=|a_{n+1}-a_n|\cdot\sum_{k=0}^{m-n-1}~q^k \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{m-n-1}~q^k=1+q+q^2+\ldots+q^{m-n-1}=\frac{1-q^{m-n}}{1-q} \end{eqnarray*}$ .

Der letzte Term ist nun $\begin{eqnarray*} <\frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt nun :
$\begin{eqnarray*} |a_m-a_n|\leq |a_{n+1}-a_n|\cdot \sum_{k=0}^{m-n-1}~q^k<|a_{n+1}-a_n|\cdot \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} |a_{n+1}-a_n|\leq q^n\cdot |a_1-a_0| \end{eqnarray*}$ . gilt folgt :

$\begin{eqnarray*} |a_m-a_n|<|a_{n+1}-a_n|\cdot \frac{1}{1-q}\leq \frac{|a_1-a_0|}{1-q}\cdot q^n \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kommen wir endlich zur Cauchyfolgeneigenschaft, die da war:

$\begin{eqnarray*} \forall\ \varepsilon>0\ \exists\ N\in\mathbb N\ \forall\ m,n>N\ :\ |a_n-a_m|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Sei also $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig.

Die "Hilfsfolge"

$\begin{eqnarray*} b_n=\frac{|a_1-a_0|}{1-q}\cdot q^n \end{eqnarray*}$

ist ja eine Nullfolge (mit durchgängig positiven Gliedern). D.h. zu vorgegebenem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} n>N \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} b_n<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Nun gilt ja für alle $\begin{eqnarray*} m,n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m>n>N \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |a_m-a_n|<\frac{|a_1-a_0|}{1-q}\cdot q^n<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Somit ist gezeigt, dass die Folge eine Cauchy-Folge ist, sie ist also konvergent !

Anmerkung : Siehste was ich meine ? Das sieht voll nach Raketenwissenschaft aus unglücklich

15.11.2006, 21:14

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von SilverBullet
Ok aus der Dreiecksungleichung folgt :

$\begin{eqnarray*} \left|\sum_{k=n}^{m-1}~(a_{k+1}-a_k)\right| \leq \sum_{k=n}^{m-1}~|(a_{k+1}-a_k)|<q \end{eqnarray*}$

Also damit dann :

$\begin{eqnarray*} |(a_m-a_{m-1})+(a_{m-1}-a_{m-2})\mp\ldots+(a_{n+2}-a_{n+1})+(a_{n+1}-a_n) | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq |(a_m-a_{m-1})|+|(a_{m-1}-a_{m-2})|\mp\ldots+|(a_{n+2}-a_{n+1})|+|(a_{n+1}-a_n) |<q \end{eqnarray*}$

Dass das vollkommen falsch ist, habe ich dir weiter oben schon gesagt. Warum sollte das $\begin{eqnarray*} <q \end{eqnarray*}$ sein???

Zitat:

Abgesehen davon, dass bis auf die letzte Zeile alles falsch ist, kannst du auch die letzte Zeile weglassen, da du sie weiter unten (und dort ist sie auch besser platziert) nochmal wiederholst. Lass also diesen ganzen Abschnitt einfach weg. Dann stimmt alles!
edit: Obwohl, lass am besten die erste Zeile da stehen (natürlich ohne $\begin{eqnarray*} <q \end{eqnarray*}$ ) und nimm den Rest aber weg. Folgendes kannst du also an dieser Stelle schreiben:

Zitat:

Original von SilverBullet
Ok aus der Dreiecksungleichung folgt :

$\begin{eqnarray*} \left|\sum_{k=n}^{m-1}~(a_{k+1}-a_k)\right|\leq\sum_{k=n}^{m-1}~|(a_{k+1}-a_k)| \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von SilverBullet
Anmerkung : Siehste was ich meine ? Das sieht voll nach Raketenwissenschaft aus unglücklich

Ich weiß nicht, was du meinst, weil ich nicht verstehe, worauf sich dieser Kommentar bezieht.

Also, nochmal komplett das Ganze, exakt aufgeschrieben:

Seien $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m,n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ beliebig. O.B.d.A. sei $\begin{eqnarray*} m>n \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} |a_m-a_n|=|(a_m-a_{m-1})+(a_{m-1}-a_{m-2})+\ldots+(a_{n+2}-a_{n+1})+(a_{n+1}-a_n)| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\left|\sum_{k=n}^{m-1}~(a_{k+1}-a_k)\right|\leq\sum_{k=n}^{m-1}~|a_{k+1}-a_k|=\sum_{k=0}^{m-n-1}~|a_{n+k+1}-a_{n+k}| \end{eqnarray*}$

Aus der Voraussetzung folgt nun für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |a_{n+k+1}-a_{n+k}|\leq q|a_{n+k}-a_{n+k-1}|\leq\ldots\leq q^k|a_{n+1}-a_n| \end{eqnarray*}$ .

Damit erhält man:

$\begin{eqnarray*} |a_m-a_n|\leq\sum_{k=0}^{m-n-1}~|a_{n+k+1}-a_{n+k}|\leq\sum_{k=0}^{m-n-1}~q^k|a_{n+1}-a_n|=|a_{n+1}-a_n|\cdot\sum_{k=0}^{m-n-1}~q^k \end{eqnarray*}$ .

Wegen

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{m-n-1}~q^k=\frac{1-q^{m-n}}{1-q}<\frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} |a_{n+1}-a_n|\leq q^n|a_1-a_0| \end{eqnarray*}$ folgt wiederum:

$\begin{eqnarray*} |a_m-a_n|\leq|a_{n+1}-a_n|\cdot\sum_{k=0}^{m-n-1}~q^k<\frac{|a_{n+1}-a_n|}{1-q}\leq\frac{|a_1-a_0|}{1-q}\cdot q^n \end{eqnarray*}$ .

Sei nun $\begin{eqnarray*} b_n:=\frac{|a_1-a_0|}{1-q}\cdot q^n \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} 0<q<1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge. Es gibt also ein $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass für alle natürlichen $\begin{eqnarray*} n>N \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} |b_n|=b_n<\varepsilon \end{eqnarray*}$ . Nun folgt wegen $\begin{eqnarray*} |a_m-a_n|<b_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m>n>\mathbb N \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |a_m-a_n|<b_n<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Damit ist $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine Cauchyfolge, also auch konvergent.

Gruß MSS

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Folge + Cauchy konvergiert

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