Optimierungsproblem / Linear Programming (LP)

11.11.2010, 20:30	andres	Auf diesen Beitrag antworten »
Optimierungsproblem / Linear Programming (LP) Hallo zusammen, ich habe ein paar Probleme mit dieser Aufgabenstellung (v.a. mit dem Aufstellen der Nebenbedingungen!). Aufgabe: Die Krankenhausleitung möchte die Zahl der durchgeführten großen und kleineren Operationen mittelfristig besser planen. Aus Erfahrung weiß man, dass große Operationen im Durchschnitt 2 Stunden dauern, während kleinere Operationen nur 1 Stunde dauern. Es sind 2 OPs für große Operationen und 1 OP für kleinere Operationen vorhanden, 2 weitere OPs können sowohl für kleinere als auch für große Operationen verwendet werden. (Kleinere Operationen können in allen 5 OPs durchgeführt werden.) Die OPs sind an 6 Tagen die Woche für je 8 Stunden verfügbar. Das Krankenhaus hat 126 Betten; Patienten mit großer Operation bleiben im Durchschnitt 8,9 Tage im Krankenhaus, Patienten mit kleiner Operation 3,5 Tage. Bei großen Operationen werden 1 Anästhesist und 2 Pflegekräfte benötigt, bei kleineren Eingriffen kein Anästhesist und im Durchschnitt 1,2 Pflegekräfte. (Anästhesisten bzw. Pflegekräfte werden bei großen Operationen jeweils für 2 Stunden gebraucht, bei kleinen jeweils für 1 Stunde.). Für die OPs sollen insgesamt 9 Vollzeit-Pflegekräfte (40 Stunden/Woche) und 4 Vollzeit-Anästhesisten abgestellt werden. Wie viele große und kleinere Operationen sollen pro Woche durchgeführt werden, wenn große Operationen aus der Sicht der Krankenhausleitung drei mal so viel zu den Zielen des Krankenhauses beitragen wie kleinere? Formulieren Sie ein LP! Ich bin folgendermaßen vorgegangen: 1.Schritt: Definition der Entscheidungsvariablen: $\begin{eqnarray} x1 \end{eqnarray}$ =Anzahl der kleinen Op's pro Woche $\begin{eqnarray} x2 \end{eqnarray}$ =Anzahl der großen Op's pro Woche 2. Schritt: Aufstellen der Zentralfunktion (ZF): max $\begin{eqnarray} z= x1 + 3 x2 \end{eqnarray}$ 3. Schritt: Aufstellen der Nebenbedingungen (NB): (a) Betten: 126 Betten pro Tag verfügbar -> 1267= 882 Betten pro Woche Patienten mit großer Operation: bleiben durchschnittlich 8,9 Tage Patienten mit kleiner Operation: bleiben durchschnittlich 3,5 Tage $\begin{eqnarray} 3,5 x1 + 8,9 x2 \leq 882 \end{eqnarray}$ Soweit sogut, denke bis hierher stimmts. Probleme habe ich aber nun beim Aufstellen der beiden anderen Nebenbedingungen "OP's" und "Pflegekräfte". (b) OP's: 6 Tage8 Std.= 48 Std./Woche verfügbar - 2 OP's für große Operationen: 248= 96 Std./Woche - 2 OP's für kleinere Operationen: 148= 48 Std./Woche - 2 beliebige (für große + kleine Operationen) OP's: 248= 96 Std./Woche Große Operationen dauern durchschnittlich 2 Std. Kleine Operationen dauern durchschnittlich 1 Std. Große Op's: $\begin{eqnarray} 2 x2 \leq 96 \end{eqnarray}$ Kleine Op's: $\begin{eqnarray} 1 x1 \leq48 \end{eqnarray}$ beliebige Op's: $\begin{eqnarray} ???\leq 96 \end{eqnarray}$ (c) Pflegekräfte: 9 Pfleger (40 Std./Woche) verfügbar -> 940= 360 Std./Woche 4 Anästhesisten (40 Std./Woche) verfügbar -> 440= 160 Std./Woche Bei kleinen Operationen: 0 Anästhesisten pro Std. und 1,2 Pfleger pro Std. Bei großen Operationen: 1 Anästhesist pro 2 Std. und 2 Pfleger pro 2 Std. -> auf 1 Std. gerechnet: 0,5 Anästhesisten pro Std. und 1 Pfleger pro Std. Anästhesisten: $\begin{eqnarray} 0x1 + 0,5x2 \leq 160 Std. \end{eqnarray}$ Pfleger: $\begin{eqnarray} 1,2x1 + 1x2 \leq 360 Std. \end{eqnarray}$ (d) Nichtnegativitätsbedingung: $\begin{eqnarray} xi \geq 0 \end{eqnarray}$ für alle (i=1,2) Das sind also meine bisherigen Ausführungen. In der Musterlösung werden für die Nebenbedingungen "OP's" und "Pflegekräfte" jedoch andere Lösungen angegeben, und zwar: Für "OP's": Große OP's $\begin{eqnarray} 2x2\leq 192 \end{eqnarray}$ Kleine OP'S $\begin{eqnarray} 1x1+2x2\leq 192+48 \end{eqnarray}$ ????? Hier wurden wohl also wie folgt vorgegangen: 4 OP's für beliebige (große u. kleine Operationen) Op's: -> 448=192 Std./Woche 1 OP für kleine OP's: ->148= 48 Std./Woche Aber wieso werden die 2 großen OP's mit den 2 beliebigen OP's zusammengezählt und das kleine OP einzeln aufgeführt? Kanns mir jemand erklären? Für "Pflegekräfte": $\begin{eqnarray} 2x2+0x1\leq 160 Std. \end{eqnarray}$ (Anästhesisten) $\begin{eqnarray} 4x2+12x1\leq 360 Std. \end{eqnarray*}$ (Pfleger) Mmmh, würde also heißen, dass bei den großen OP's auf 1 Std gerechnet: 2 Anästhesisten pro Std. 4 Pfleger pro Std. Das verstehe ich nicht, da doch durch 2 dividiert werden muss, um von 2 Std. auf 1 Std. zu kommen (wie ich oben gerechnet habe) ????? Wo ist mein Fehler? Hoffe jemand kann mir helfen. Vielen Dank Im Vorraus
11.11.2010, 20:35	andres	Auf diesen Beitrag antworten »
Verdammt! Wollte die Frage ursprünglich im Hochschulmathematikforum stellen... naja vllt kann mir hier auch jemand helfen. btw. wie verschieb ich denn ne frage?
12.11.2010, 09:09	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi andres, Einen Verschiebewunsch kannst Du per PN an einen gerade aktiven Mod äußern. Zur Frage: Sowohl die beiden OPs für große Operationen, als auch die beiden zusätzlichen OPs können für beide Arten von Operationen genutzt werden. Es ergibt also gar keinen Sinn hier zwischen diesen OPs zu unterscheiden. Nun musst Du eben die Nebenbedingung für die OPs finden: große OPs: 4 mögliche OPs mit jeweils 48 freien Stunden, jede Operation dauert 2 Stunden. Macht: $\begin{eqnarray} 2x_2\leq 4\cdot 48 \end{eqnarray}$ klein OPs: 5 mögliche OPs mit jeweils 48 freien Stunden, jede Operation dauert 1 Stunde. Macht: $\begin{eqnarray} x_1\leq 5\cdot 48 \end{eqnarray}$ Obergrenze insgesamt: kleine (1h) und große (2h) Operationen in fünf OPs. Macht: $\begin{eqnarray} 2x_2+x_1\leq 5\cdot 48 \end{eqnarray}$ Die zweite Nebenbedingung ist offensichtlich überflüssig, da sie durch die dritte NB immer erfüllt ist. Anästhesisten: Es werden $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ große Operationen durchgeführt und bei jeder ist ein Anästhesist für 2 Stunden beschäftigt. Insgesamt fallen pro Woche also $\begin{eqnarray} 2\cdot x_2 \end{eqnarray}$ Stunden Anästhesistenarbeit an. Da vier Anästhesisten pro Woche je 40 Stunden arbeiten, stehen 160 Stunden Anästhesistenarbeit zur Verfügung. Pflegekräfte analog. Gruß, Reksilat.
12.11.2010, 11:26	andres	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das ist es. Die Lösung im Buch hatte mich total verwirrt, da ohne Erläuterungen. Danke deiner Ausführungen hab ichs jetzt. Eine formelle Frage hätte ich noch zur Formulierung der Zielfunktion: Könnte ich anstatt max z= x1+3x2 auch max z= 20x1+60x2 oder max z= 100x1+300x2 , da in der Aufgabenstellung ja nur steht, dass x2 3mal so groß sein soll wie x1 ?
12.11.2010, 12:00	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, alle diese Zielfunktionen führen Dich zum Ziel.

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