Polynom als linearkombination anderer Polynome

11.11.2010, 21:34

Taladan

Polynom als linearkombination anderer Polynome

$\begin{eqnarray*} P_1= 2T^2 + T + 1 \end{eqnarray*}$ später skalaer a
$\begin{eqnarray*} P_2=4T^2 + T \end{eqnarray*}$ später skalar b
$\begin{eqnarray*} P_3=-2T^2+2T+1 \end{eqnarray*}$ später skalar c

Nur das Gleichheitszeichen vergessen. mit dem Skalar und ie umformung auf $\begin{eqnarray*} T^0 ... T^2 \end{eqnarray*}$ wird überall in den skript so gemacht. und die Skalare werden immer a..c genannt

11.11.2010, 21:43

tigerbine

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RE: Polynom als linearkombination anderer Polynome
Das mit den Skalaren finde ich schlecht. Wie lautet P3 korrekt, bevor ich weiter mache?

11.11.2010, 22:04

tigerbine

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RE: Polynom als linearkombination anderer Polynome
Nun ist aber die Aufgabe weg ... verwirrt

12.11.2010, 08:13

Taladan

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RE: Polynom als linearkombination anderer Polynome
Arg wohl auf Edit statt Zitat geklickt.

Ok. Hier noch mal die Frage. Ich soll aus aus drei Polynomen, die eine Basis bilden, ein viertes bilden. eigendlich recht einfach, aber bei der Gegenrechnung komme ich immer auf falsche Werte.

Die Polynome der Basis
$\begin{eqnarray*} p_1= 2T^2 + T + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P_2= 4T^2 + T \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_3=-2T^2 +2T +1 \end{eqnarray*}$

Nun soll ich aus den drei Polynomen $\begin{eqnarray*} P_4 = 5T^2 - 11T +7 \end{eqnarray*}$ als Linearkombination der Polynome oben bilden.

Nun als erstes habe ich folgendes gemacht

$\begin{eqnarray*} a(2T^2 + T + 1)+ b(4T^2 + T)+c(-2T^2 +2T +1)= 5T^2 - 11T +7 \end{eqnarray*}$
Dann ein wenig die Wechstaben verbuchseln und ich bekomme folgendes Gleichungssystem und daraus die Koeffizientenmatrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 4 & -2 & | & 5 \\ 1& 1&2&|&-11 \\ 1&0&1&|&7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus erhalte ich dann folgendes Ergebnis als eindeutiges ergebnis der Linearkombination
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{119}{8} \\ -\frac{81}{8} \\ -\frac{63}{8} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich versuche eine Gegenrechnung und setzte das Ergebnis ein und bekomme immer das falsche Ergebnis!

In der Aufgabe gibt es auch eine "gute Rechenfee", die die Inverse der Matrix angibt. Dann komme ich auf folgende Linearkombination:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -48 \\ 8 \\ 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber auch hier ergibt es unmögliches
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{8} & -\frac{1}{2} & \frac{4}{5} \\ \frac{1}{8} & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} \\ -\frac{1}{8} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{4} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -48 \\ 8 \\ 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich komme da immer auf seltsame ergebnisse, wenn ich die in folgende Formel einsetze
$\begin{eqnarray*} a(2T^2 + T + 1)+ b(4T^2 + T)+c(-2T^2 +2T +1)= 5T^2 - 11T +7 \end{eqnarray*}$

12.11.2010, 10:40

tigerbine

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RE: Polynom als linearkombination anderer Polynome
Idee stimmt. verwirrt

Dann rechnest du falsch nach. verwirrt

Ich bin gerade was knapp in der Zeit. Versuche heute abend noch mal dran zu denken.

12.11.2010, 18:17

tigerbine

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RE: Polynom als linearkombination anderer Polynome
so, nun wieder mit techn Hilfsmitteln ausgestattet. Bei mir stimmt die Probe...

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12: 13: 14: 15: 16: 17: 18: 19: 20: 21:	A A = 2 4 -2 1 1 2 1 0 1 >> b b = 5 -11 7 >> x=A\b x = 14.8750 -10.1250 -7.8750 >> A^(-1)*b ans = 14.8750 -10.1250 -7.8750 >>

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