Bernoulli-Euler-Beweis

11.11.2010, 22:38

Schattenlord

Bernoulli-Euler-Beweis

Hallo, ich hänge an einem Teil von der Herleitung von e fest.

Ich habe gegeben:
$\begin{eqnarray*} a_n:=(1+\frac{1}{n} )^n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b_n:=(1+\frac{1}{n} )^{n+1} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich schon gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \frac{b_{n-1}}{b_n} \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist.

Aber bei $\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n-1}} \end{eqnarray*}$ hänge ich gerade fest.
Ich habe bisher folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{(\frac{n+a}{n})^n}{(\frac{n}{n-1})^{n-1}}=(\frac{n+1}{n})^n\cdot (\frac{n-1}{n})^{n-1}=\frac{n+1}{n}\cdot (\frac{n+1}{n})^{n-1}\cdot (\frac{n-1}{n})^{n-1}=\frac{n+1}{n}\cdot (\frac{n^2-1}{n^2})^{n-1}=\frac{n+1}{n}\cdot(1+\frac{-1}{n^2})^{n-1} \end{eqnarray*}$

Nun kann ich die Bernoulli-Ungleichung anwenden:
$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{n}\cdot(1+\frac{-1}{n^2})^{n-1}\geq \frac{n+1}{n}\cdot (1+\frac{-1}{n^2}\cdot (n-1)=\frac{n+1}{n}\cdot (1+\frac{-n+1}{n^2})=\frac{n+1}{n}\cdot (\frac{n^2-n+1}{n^2}) \end{eqnarray*}$

Hier hänge ich nun fest. Kann mir jmd. einen kleinen Schubs geben?

12.11.2010, 09:31

klarsoweit

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RE: Bernoulli-Euler-Beweis

Zitat:

Original von Schattenlord
Nun habe ich schon gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \frac{b_{n-1}}{b_n} \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist.

Vermutlich wolltest du zeigen, daß b_n monoton fallend ist.

Zitat:

Original von Schattenlord
$\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{(\frac{n+a}{n})^n}{(\frac{n}{n-1})^{n-1}}=(\frac{n+1}{n})^n\cdot (\frac{n-1}{n})^{n-1} \end{eqnarray*}$

Abgesehen davon, daß da einmal "n+a! statt "n+1" steht, solltest du so fortsetzen:

$\begin{eqnarray*} ... = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n \cdot \left( \frac{n-1}{n} \right)^n \cdot \frac{n}{n-1} = \left( \frac{n^2-1}{n^2} \right)^n \cdot \frac{n}{n-1} \end{eqnarray*}$

Jetzt Bernoulli-Ungleichung anwenden und dann paßt es.

12.11.2010, 13:52

Schattenlord

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RE: Bernoulli-Euler-Beweis

Zitat:

Original von klarsoweit

Vermutlich wolltest du zeigen, daß b_n monoton fallend ist.

ja, und das hab ich auch ^^ mein fehler xD. hab gezeigt, das $\begin{eqnarray*} \frac{b_{n-1}}{b_n}\geq 1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von klarsoweit
Abgesehen davon, daß da einmal "n+a! statt "n+1" steht, solltest du so fortsetzen:

$\begin{eqnarray*} ... = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n \cdot \left( \frac{n-1}{n} \right)^n \cdot \frac{n}{n-1} = \left( \frac{n^2-1}{n^2} \right)^n \cdot \frac{n}{n-1} \end{eqnarray*}$

Jetzt Bernoulli-Ungleichung anwenden und dann paßt es.

Das a war ein kleiner Tippfehler, danke für den Denkanstoß, hab jetzt das raus, was ich brauch.

$\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n-1}}\geq 1 \end{eqnarray*}$

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