Ableitung von e-Funktion

11.11.2010, 22:53

Libby12

Ableitung von e-Funktion

Meine Frage:
Hallo,
ich komme nicht so wirklich zurecht mit den Ableitungen von e Funktionen, und bin auch im Moment krankt, deshalb kann ich nicht zur Schule gehen...
Ich fänds nett, wenn ihr mir mal die Ableitung von der Funktion f(x)=x^2*e^-x Schritt für Schritt erklären könntet, mit den ganzen Regeln in der Anwendung smile

Meine Ideen:
Ich hatte jetzt erstmal an die Produkregel gedacht. Das wäre dann doch x^2*-e^x+2x*e^-x richtig?
Und wenn ich später Extrema bestimme, also Nullstellen berechne, dann mach ich das mit ln oder?
Danke schonmal smile

11.11.2010, 23:01

Kawarider90

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fast richtig abgeleitet

$\begin{eqnarray*} x^2e^{-x} \end{eqnarray*}$
abgeleitet ergibt

$\begin{eqnarray*} -x^2e^{-x}+2xe^{-x} \end{eqnarray*}$

mit den extrema weiß ich jetzt nicht ausm kopf

11.11.2010, 23:02

corvus

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RE: Ableitung von e-Funktion

Zitat:

Original von Libby12
die Ableitung von der Funktion f(x)=x^2*e^-x

Ich hatte jetzt erstmal an die Produkregel gedacht. Freude

Das wäre dann doch x^2*-e^x+2x*e^-x richtig? unglücklich

jein .. du solltest in diesem Fall halt sicherheithalber auch ne Klammer setzen:

also so:
f'(x)= x^2*(-e^-x)+2x*e^-x

und nun e^-x ausklammern ..

nebenbei: wann wird ein Produkt dann 0 ?

11.11.2010, 23:04

Eyvan

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Genau, wobei du beachten solltest das $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ abgeleitet immernoch $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ist. (Besondere Eigenschaft)

z. B: ist $\begin{eqnarray*} f(x)=[ e^{tx}]^{(1)}=t*e^{x} \end{eqnarray*}$

(hoch (1) bedeutet die erste Ableitung)

11.11.2010, 23:09

corvus

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Zitat:

Original von Eyvan
Genau, wobei du beachten solltest das $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ abgeleitet immernoch $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ist. (Besondere Eigenschaft)

z. B: ist $\begin{eqnarray*} f(x)=[ e^{tx}]^{(1)}=t*e^{x} \end{eqnarray*}$ Spam

(hoch (1) bedeutet die erste Ableitung)

und dann denk nochmal nach..

11.11.2010, 23:11

Libby12

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RE: Ableitung von e-Funktion

Zitat:

Original von corvus

Zitat:

Original von Libby12
die Ableitung von der Funktion f(x)=x^2*e^-x

Ich hatte jetzt erstmal an die Produkregel gedacht. Freude

Das wäre dann doch x^2*-e^x+2x*e^-x richtig? unglücklich

jein .. du solltest in diesem Fall halt sicherheithalber auch ne Klammer setzen:

also so:
f'(x)= x^2*(-e^-x)+2x*e^-x

und nun e^-x ausklammern ..

nebenbei: wann wird ein Produkt dann 0 ?

Wenn x = 0 ist. Weshalb die Klammer jetzt? Also weiß ich dann gleich das ein Extrempunkt bei 0 ist?

11.11.2010, 23:18

corvus

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RE: Ableitung von e-Funktion

Zitat:

Original von Libby12

Wenn x = 0 ist. .. ja - aber das ist nur die halbe Wahrheit

Weshalb die Klammer jetzt?
die Klammer setzt man wenn die Rechenzeichen *- aufeinanderfolgen
also ..*( - ...)

nun zu deiner Ableitung:
du solltest doch e^-x ausklammern bei f'(x)= x^2*(-e^-x)+2x*e^-x

schreib mal auf, was dann noch alles in der Klammer steht

und überlege, für welche x das dann 0 werden kann.. verwirrt

11.11.2010, 23:35

Libby12

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Wie klammer ich das denn aus? Zu e^-x+(x^2+2x-1)

11.11.2010, 23:51

corvus

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.
f'(x)= x^2*(-e^-x)+2x*e^-x

Zitat:

Original von Libby12
Wie klammer ich das denn aus? Zu e^-x+(x^2+2x-1) Gott

- wenn du "ausklammerst" hast du nachher ein Produkt (und keine Summe )
- ausserdem hast du das ominöse Minuszeichen irgendwie "entsorgt" ?
also:
$\begin{eqnarray*} f'(x)= x^2\cdot ( - e^{-x}) + 2x\cdot e^{-x} f'(x)= \left[ -x^2 + 2x\right] \cdot e^{-x} f'(x)= \left[ 2x - x^2 \right] \cdot e^{-x} f'(x)= x\cdot (2 - x)\cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

so - für welche x wird also deine erste Ableitung den Wert 0 haben?
.

12.11.2010, 00:29

Libby12

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Mit dem + vor der Klammer hatte ich mich vertippt ;D
Dann haben wir jetzt für x = 0 und für x=2 eine Nullstelle. Das heißt, jetzt setze ich die beiden Werte in die Ausgangsgleichung ein und schon hab ich die Extrema. Fehlt nur noch die hinreichende Bedingung, und dafür brauche ich jetzt die zweite Ableitung.
Die lautet dann wie? f´´(x) = (2x-x^2)*(-e^-x) + (2-2x ) * (e^-x) also wieder ausklammern wird zu : e^-x +[(2x-x^2)+(2-2x)] = e^-x(-x^2+2) . Bischen unsicher ob das so stimmt Big Laugh

12.11.2010, 00:43

corvus

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.
$\begin{eqnarray*} f'(x)= \left[ 2x - x^2 \right] \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Libby12
die zweite Ableitung.
f´´(x) = (2x-x^2)*( - e^-x) + (2-2x ) * (e^-x) Freude

also wieder ausklammern wird zu :

e^-x +[(2x-x^2)+(2-2x)] = e^-x(-x^2+2) . unglücklich

du hast wieder das Minus nicht weiter beachtet
und ausserdem im ersten Schritt wieder e^-x +.. statt e^-x mal..

verbesser das bitte noch ->
wie sieht also f"(x) aus?

12.11.2010, 14:27

Lucas

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RE: Ableitung von e-Funktion
Hallo Libby12,

sowas leitet man logarithmisch ab. dann steckt noch die Produkt- und die Kettenregel drin. Wie man das lernt? Alte Regel: üben, üben, üben!
Ich zeige es dir trotzdem:

$\begin{eqnarray*} y=x^{2}e^{-x} \end{eqnarray*}$
Das logarithmierst du! Du musst also die Logaritmensätze kennen (das ist Grundwissen für's ganze Leben)!
Du musst also wissen das $\begin{eqnarray*} log\left(a*b\right) = log(a)+log(b) \end{eqnarray*}$ ist.
Du solltest aber alle Logarithmengesetze lernen. Ebenso alle Potenz- und Wurzelgesetze. Du musst noch wissen,
dass es den allgemeinen Logarithmus log,
den Zehner-Logarithmus lg und den natürlichen Logarithmus ln gibt.
All folgen den gleichen Logarithmengesetzen. Aber jeder hat eine andere Basis. log hat eine beliebige (allg.) Basis >0, lg hat die Basis 10
und ln hat die Basis e. Die Tatsache, dass der Logarithmus von seiner eigenen Basis stets 1 ist, wird oft zu "eleganten Umformungen" benutzt.
(Das ist Übung, Übung, Übung, besonders später bei Differentialgleichungen!).
Vieleicht kannst du dir "praktisch" unter dem Logarithmus gar nichts vorstellen?
Hier nochmal für dich die Bedeutung an einem beliebigen, aber einfachen Beispiel:
Bleiben wir dazu beim natürlichen Logarithmus ln und nehmen ein Zahlenbeispiel:
Frage ist: Was ist eigentlich der log(a) zur Basis b? Hier die Erklärung:
Also was ist $\begin{eqnarray*} ln\left(7\right) \end{eqnarray*}$ ?
Antwort: Mit welcher Zahl x muß ich die Basis potenzieren, um 7 zu erhalten?
Man kann jede beliebige Zahl oder jeden Term mit $\begin{eqnarray*} ln\left(e\right)= 1 \end{eqnarray*}$ multiplizieren, ohne dass sich etwas ändert und zum Umformen nutzen!
$\begin{eqnarray*} ln\left(7\right)= x*ln\left(e\right) \end{eqnarray*}$ ist immer noch das gleiche wie $\begin{eqnarray*} ln\left(7\right)= x \end{eqnarray*}$
Es ist offensichtlich, dass bei $\begin{eqnarray*} ln\left(a\right)=ln\left(b\right) \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ gilt. Du kannst links wie rechts in diesem Fall den ln weglassen. Das war das Ziel unserer Bemühungen,
denn es gilt nun: $\begin{eqnarray*} 7=e^{x} \end{eqnarray*}$
Also: Mit welcher Zahl x muß ich die Basis des Logarithmus potenzieren, um 7 zu erhalten?
So, zurück zu deiner Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} y=x^{2}e^{-x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln\left(y\right)=ln\left(x^{2}e^{-x}\right) \end{eqnarray*}$ beide Seiten logarithmiert und
$\begin{eqnarray*} ln\left(y\right)=ln\left(x^{2}\right)+ln\left(e^{-x}\right) \end{eqnarray*}$
umgeformt, s. o.
$\begin{eqnarray*} ln\left(y\right)= ln\left(x^{2}\right)+\left(-x\right)*ln\left(e\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln\left(y\right)=ln\left(x^{2}\right)-x \end{eqnarray*}$
Jetzt kommt die Ableitung auf beiden Seiten der Gleichung!
Beachte, das y eine Funktion von x ist, also $\begin{eqnarray*} y=y(x) \end{eqnarray*}$ und dass damit sofort die Kettenregel ins Spiel kommt,
denn die Ableitung von $\begin{eqnarray*} ln\left(y\right) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{y}*y' \end{eqnarray*}$ !
Die kennen wir ja noch nicht. Darum schreiben wir allg. y' !
Also:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{y}*y'=\frac{1}{x^{2}}*2*x-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'=y*\left(\frac{2*x}{x^{2} }-1\right) \end{eqnarray*}$ Hier setzen wir jetzt für y die Fuktion $\begin{eqnarray*} x^{2}e^{-x} \end{eqnarray*}$ wieder ein und erhalten nach dem Ausmultiplizieren:
$\begin{eqnarray*} y'=\frac{\left(2*x-x^{2}\right)}{e^{-x}} \end{eqnarray*}$

L. G. Lucas

12.11.2010, 19:46

corvus

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RE: Ableitung von e-Funktion

Zitat:

Original von Lucas

Vieleicht kannst du dir "praktisch" unter dem Logarithmus gar nichts vorstellen?
Ich zeige es dir trotzdem:

sowas leitet man logarithmisch ab.

@Lucas

was soll der Schwachsinn ?
.

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