Fakultäten und Binominalkoeffizienten

11.11.2010, 23:45

igarus

Fakultäten und Binominalkoeffizienten

Hallo,

ich bräuchte mal etwas hilfe um folgendes Problem zu lösen, hoffe
ich bin im richtigen Themengebiet.

Also, gezeigt werden soll dass:

$\begin{eqnarray*} {p \choose n-1} + {p \choose n} = {p+1 \choose n} \end{eqnarray*}$

Dann hab ich mal die Umformung probiert

$\begin{eqnarray*} {p \choose n-1} + {p \choose n}= \frac{p!}{(n-1)!(p-n+1)!} *\frac{p!}{n!(p-n)!} = \frac{1}{n!} [ \frac{p!n}{(p-n+1)!} *\frac{p!}{(p-n)! }]= ? \end{eqnarray*}$

Ab hier komm ich nicht mehr weiter, habe hier noch versucht

$\begin{eqnarray*} (n-p)!=\frac{n!}{n(n-p+1)} \end{eqnarray*}$

umzuformen, aber irgendwie funktioniert da was noch nicht...

vielleicht über doppelfakultäten...?

Wäre nett wenn mir mal jemand nen tipp geben könnte.

Gruß

12.11.2010, 00:22

wisili

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fakultäten und Binominalkoeffizienten
Statt * sollte + stehen. Die Brüche gleichnamig machen.

12.11.2010, 00:26

corvus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fakultäten und Binominalkoeffizienten

Zitat:

Original von igarus

Also, gezeigt werden soll dass:

$\begin{eqnarray*} {p \choose n-1} + {p \choose n} = {p+1 \choose n} \end{eqnarray*}$

Dann hab ich mal die Umformung probiert

$\begin{eqnarray*} {p \choose n-1} + {p \choose n}= \frac{p!}{(n-1)!(p-n+1)!} *\frac{p!}{n!(p-n)!} = .. \end{eqnarray*}$ unglücklich

Ab hier komm ich nicht mehr weiter,..

du bist ja längst aus der Spur gekippt .. smile

bereits das * zwischen den beiden Brüchen ist verkehrt..
also mach so weiter:
$\begin{eqnarray*} {p \choose n-1} + {p \choose n}= \frac{p!}{(n-1)!(p-n+1)!} + \frac{p!}{n!(p-n)!} = .. \end{eqnarray*}$

ungleichnamige Brüche werden addiert indem zuerst beide Brüche auf
den "Hauptnenner" gebracht werden .. usw..

der Hauptnenner ist hier : n!*(p-n+1)!

also mach mal: ->..

EDIT: @aleph_math : danke;
habe das verlorengegangene "!" nun auf seinen richtigen Platz eingewiesen smile

12.11.2010, 13:12

aleph_math

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fakultäten und Binominalkoeffizienten
Das sollte schon gestern raus, aber um 3h sind mir die Augen zugefallen.. unglücklich

Wenn es jetzt obsolet ist, bitte um Vergebung! Gott

Zitat:

Original von corvus
.. bereits das * zwischen den beiden Brüchen ist verkehrt..
.. der Hauptnenner ist hier : n!*(p-n+1)

Dem 1. Satz kann/muß ich zustimmen, dem 2. (leider) nicht; da ist das letzte '!' (nach der Klammer) verlorengegangen.. unglücklich

Sonst ist der Ansatz mit "gleichnamig" etc selbstredend richtig. Freude

Dabei beachten, daß gilt: (n-1)! = n!/n u. (n+1)! = (n+1)*n!

Das richtig übertragen u. sauber gerechnet (Brüche richtig erweitert u. so Augenzwinkern

), hebt sich dann zB. das n im Zähler weg u. im Nenner bleiben die passenden '!' Diesen viell. noch umstellen (p-n+1 = p+1-n) u. es wird klar, daß genau das Gewünschte herauskommt!

Viel Erfolg! Wink

12.11.2010, 15:46

igarus

Auf diesen Beitrag antworten »

Also danke schonmal für die Zahlreichen Antworten.

Zitat:

Original von corvus

Zitat:

Ab hier komm ich nicht mehr weiter,..

du bist ja längst aus der Spur gekippt .. smile

bereits das * zwischen den beiden Brüchen ist verkehrt..
also mach so weiter:
$\begin{eqnarray*} {p \choose n-1} + {p \choose n}= \frac{p!}{(n-1)!(p-n+1)!} +\frac{p!}{n!(p-n)!} = .. \end{eqnarray*}$

ungleichnamige Brüche werden addiert indem zuerst beide Brüche auf
den "Hauptnenner" gebracht werden .. usw..

der Hauptnenner ist hier : n!*(p-n+1)

also mach mal: ->..
.

Ja da hab ich mich wohl vertippt, sry, aber das mit dem Hauptnenner bilden weiß
ich doch wie das geht!

zzz mein ABI hab ich geschafft Augenzwinkern

es geht mir eigentlich nur darum

$\begin{eqnarray*} (n-p)! \end{eqnarray*}$
so umzoformen, dass ich später leichter kürzen kann

$\begin{eqnarray*} {p \choose n-1} + {p \choose n}= \frac{1}{n!}(\frac{p!n}{(p+1-n)!} + \frac{p!}{(p-n)!} )= \end{eqnarray*}$

mh ich hab jetzt ne idee, komm später nochmal vorbei, danke euch....

Gruß

i.

12.11.2010, 20:32

aleph_math

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von igarus
... Ja da hab ich mich wohl vertippt, sry, aber das mit dem Hauptnenner bilden weiß ich ... !

Na fein, nur ist bei k! das Kürzen/Erweitern nicht so klar wie bei "gewöhnlichen" Brüchen.. unglücklich

Zitat:

.. es geht mir eigentlich nur darum, $\begin{eqnarray*} (n-p)! \end{eqnarray*}$ so umzuformen, dass ich später leichter kürzen kann.
(...)
hmm, ich hab jetzt 'ne idee...

Ich würd' mich auf eher auf (p-n+1)! konzentrieren, denn (p-n)! ist ja, wo wir hinwollen! Augenzwinkern

Die passende Teilung wäre dann (p-n+1)! = (p-n)! (p-n+1) . War das die "Idee"?

Jetzt ist wohl klar, wie/womit man den 2.Summanden erweitern muß, o.e.n.?

Gutes Gelingen! Wink

12.11.2010, 21:42

igarus

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, so hab ich mir das gedacht und komm auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} {p \choose n-1} + {p \choose n}= \frac{1}{n!}(\frac{p!n}{(p+1-n)!} + \frac{p!}{(p-n)!} )= = \frac{1}{n!}(\frac{p!n}{(p-n)!(p+1-n)} + \frac{p!}{(p-n)!} )= = \frac{1}{n!}(\frac{p!n+p!(p-n+1)}{(p-n)!(p+1-n)} ) = \frac{p!}{n!}(\frac{n+p-n+1}{(p-n)!(p+1-n)} ) = \frac{p!}{n!}(\frac{p+1}{(p-n)!(p+1-n)} ) =\frac{p!(p+1)}{n!(p+1-n)}(\frac{1}{(p-n)!} ) ={p+1 \choose n}=\frac{p!(p+1)}{n!(p+1-n)} \frac{1}{(p-n)!} ??? \end{eqnarray*}$

weiter komm ich leider nicht, irgendwo muss nochn fehler sein...

achja wie bekommst du die umformung hin???

Zitat:

Original von aleph_math

Zitat:

Ich würd' mich auf eher auf (p-n+1)! konzentrieren, denn (p-n)! ist ja, wo wir hinwollen! Augenzwinkern

Die passende Teilung wäre dann (p-n+1)! = (p-n)! (p-n+1) . War das die "Idee"?

Gruß

i.

13.11.2010, 03:50

aleph_math

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von igarus

Zitat:

Original von aleph_math
Ich würd' mich eher auf (p-n+1)! konzentrieren, denn (p-n)! ist ja, wo wir hinwollen! Augenzwinkern

Die passende Teilung wäre dann (p-n+1)! = (p-n)! (p-n+1).

Ja genau, so hab ich mir das gedacht und komm auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} {p \choose n-1} + {p \choose n}= \frac{1}{n!}\left(\frac{p!n}{(p+1-n)!} + \frac{p!}{(p-n)!}\right)= ... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{p!}{n!}\cdot\frac{p+1}{(p-n)!(p+1-n)} \end{eqnarray*}$ (1)

$\begin{eqnarray*} =\frac{p!(p+1)}{n!(p+1-n)}\cdot\frac{1}{(p-n)!}={p+1 \choose n}\quad \end{eqnarray*}$ (2)

$\begin{eqnarray*} = ... ~??? \end{eqnarray*}$

weiter komm ich leider nicht, irgendwo muss noch'n fehler sein... wie bekommst du die umformung hin???

Zur Klarheit hab' ich nach der Addition die äussere Klammer entfernt, die bei der Multipl. von Brüchen ja nicht nicht notwendig ist..

Tja, bis (1) ist alles richtig, auch die Gleichsetzung (2), nur der Weg dorthin wird nicht deutlich, da fehlt u.U. ein Zwischenschritt; und warum wird danach weitergerechnet, ich dachte, nur der Koeff. auf der rechten Seite ist gesucht, o.e.n.? geschockt

Der (fehlende?) Schritt ist: meine(n) Tip/Regel sozusagen rückwärts auf (1) anwenden & zusammenfassen:
$\begin{eqnarray*} =>\frac{p!}{n!}\cdot\frac{p+1}{(p-n)!(p+1-n)}= \frac{p!(p+1)}{n!(p-n)!(p+1-n)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{(p+1)!}{n!(p+1-n)!}={p+1 \choose n} \end{eqnarray*}$ . Das letzte "=" ist genau die Def. des Binominalkoeff. (qed. Freude

)

Schönes WE & fröhliches Köpferauchen! Wink

13.11.2010, 13:58

igarus

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja es ist ja auch nur der koeff. gesucht, aber durch meine umformung komm ich eben
auf das:

$\begin{eqnarray*} ...=\frac{p!(p+1)}{n!(p+1-n)}(\frac{1}{(p-n)!} = \frac{1}{(p-n)!}{p+1 \choose n} \end{eqnarray*}$

das versteh ich noch nicht so ganz. verwirrt

13.11.2010, 16:02

aleph_math

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von igarus
Ja, (..) aber durch meine umformung komm ich eben auf das:

$\begin{eqnarray*} ...=\frac{p!(p+1)}{n!(p+1-n)} \cdot\frac{1}{(p-n)!}= \frac{1}{(p-n)!}{p+1 \choose n} \end{eqnarray*}$
das versteh ich noch nicht so ganz. verwirrt

Der letzte Ausdruck ist auch falsch, beides (Fakult. & Koeff.) ist zuviel! unglücklich

Wie ist der Ausdruck zustandegekommen?
Hast du viell. übersehn, daß im Nenner ein "!" fehlt ? (p+1-n) ist nicht (p+1-n)! !!

Im letzten Beitrag hab ich doch gezeigt: den einleitenden Ausdruck oben kann man zusammenfassen u. dann ist er genau die übl. Def. des Binominal-Koeff. Also:

$\begin{eqnarray*} ...=\frac{p!(p+1)}{n!(p+1-n)} \cdot\frac{1}{(p-n)!}=\frac{(p+1)!}{n!(p+1-n)!}=:{p+1 \choose n} \end{eqnarray*}$ .

Genau hinschauen & Regeln (nat. richtig Augenzwinkern

) anwenden, mehr kann ich im Moment nicht sagen!

Wie gesagt, fröhl. Köpferauchen! Augenzwinkern

13.11.2010, 16:51

igarus

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast selbstverständlich recht, jetzt seh ich´s auch.

$\begin{eqnarray*} ...=\frac{p!(p+1)}{n!(p+1-n)} \frac{1}{(p-n)!} =\frac{1}{n!(p+1-n)} \frac{p!(p+1)}{(p-n)!} = {p+1 \choose n} \end{eqnarray*}$

d.h.

$\begin{eqnarray*} \frac{p!(p+1)}{(p-n)!}=(p+1)! \end{eqnarray*}$

Man man man ich steh zur zeit ziemlich neben mir.... DANKE!

Gruß

i.

13.11.2010, 19:57

aleph_math

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von igarus
Du hast selbstverständlich recht, jetzt seh ich´s auch...

Ich fürchte, noch nicht ganz traurig

Du hast: $\begin{eqnarray*} ...=\frac{p!(p+1)}{n!(p+1-n)} \frac{1}{(p-n)!} =\frac{1}{n!(p+1-n)} \frac{p!(p+1)}{(p-n)!} \end{eqnarray*}$

Das stimmt's zwar, macht aber das Wesentliche nicht deutlich. Fassen wir anders zusammen:

$\begin{eqnarray*} ...=\frac{1}{n!(p+1-n)} \frac{p!(p+1)}{(p-n)!}=\frac{p!(p+1)}{n!(p+1-n)(p-n)!} \end{eqnarray*}$

Jetzt zuerst der Zähler; bekanntl. gilt: p!(p+1)=(p+1)! Ähnl. im Nenner: (p-n+1)(p-n)!=(p+1-n)! Wir erhalten also:
$\begin{eqnarray*} ...=\frac{p!(p+1)}{n!(p+1-n)(p-n)!} =\frac{(p+1)!}{n!(p+1-n)!} \end{eqnarray*}$

Tja, u. letzteres ist genau die Def. von $\begin{eqnarray*} {p+1 \choose n} \end{eqnarray*}$ ! Voilà! Freude

Zitat:

.. dh. $\begin{eqnarray*} \frac{p!(p+1)}{(p-n)!}=(p+1)! \end{eqnarray*}$

Bedaure, nein! traurig

(p+1)! stimmt (vgl. oben), aber wieso verschwindet (p-n)! geschockt

Nachdem oben & unten p steht, kann man zwar kürzen, das sieht aber anders aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{p!(p+1)}{(p-n)!}=\prod_{k=p-n+1}^{p+1} k \end{eqnarray*}$ , was nicht so praktisch aussieht... traurig

Schöne Grüße Wink

13.11.2010, 21:29

igarus

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, ich hab mich eigentl. nur im Kreis bewegt weil ich
a) die Fakultäten übersah und b) weil ich die umformung
nicht verstandt....

$\begin{eqnarray*} (p+1-n)(p-n)!=(p+1-n)! \end{eqnarray*}$

got it, ich glaub das wars smile

thx!

Neue Frage »

Antworten »

Fakultäten und Binominalkoeffizienten

Verwandte Themen