Vollständige Induktion

11.11.2010, 23:52

mamamia

Vollständige Induktion

Meine Frage:
Hallo ihr lieben,

ich brauche etwas hilfe bei meiner letzten Aufgabe auf dem Übungsblatt...
Aufgabe:

Für welche n $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} 2^{n}\geq 2n^{2} \end{eqnarray*}$ ? Weisen Sie Ihre Vermutung mit vollständiger Induktion nach.

Meine Ideen:
Wir haben den Tip bekommen, dass wir $\begin{eqnarray*} 4m^{2}\geq 2(n+1)^{2} \end{eqnarray*}$ verwenden sollen, aber ich weiss nicht wie Könnt ihr mir bitte einen Tip geben...Dannnnnkkkkeeee schönnnnn....

12.11.2010, 00:25

tigerbine

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RE: Vollständige Induktion

Zitat:

Weisen Sie Ihre Vermutung mit vollständiger Induktion nach.

Zunächst, was vermutest du denn?

12.11.2010, 10:51

mamamia

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O.k. zunächst mal habe ich überprüft mit welcher Induktion ich anfangen kann, dabei habe ich geshen das er für n=0 und n=1 gilt aber für 2,3,4 dann wieder nicht und ab 5 wieder ja.
Also:

I.A. n=5

I.V. Fü alle $\begin{eqnarray*} 5 \geq n \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} 2^{n}\geq 2n^{2} \end{eqnarray*}$ .

I.S. $\begin{eqnarray*} n ->n+1 \end{eqnarray*}$

zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} 2^{n+1}\geq 2(n+1)^{2} \end{eqnarray*}$

Ist das bis hier hin richtig ? und wie gehe ich jetzt am besten vor ?

12.11.2010, 10:56

mamamia

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sorry wollte mich nur kurz verbessern die ungleichung gilt auch für n=0 und 1 nicht

12.11.2010, 10:58

lgrizu

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$\begin{eqnarray*} 2^{n+1}=2 \cdot 2^n \geq_{nach~Vorraussetzung} 2 \cdot 2n^2 \end{eqnarray*}$

nun benutze den tip, den du bekommen hast,

12.11.2010, 10:59

tigerbine

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Wenn du deine Startvermutung hast, kannst du ja mal mit konkreten Zahlen versuchen, ob dir etwas auffällt.
Du suchst eine Abschätzung für

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1}=2*2^n \end{eqnarray*}$

Dabei kennst du nun schon eine Abschätzung für einen Faktor. Dann würde ich mir den Tipp noch mal durchlesen.

12.11.2010, 11:01

lgrizu

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@bienchen,

sorry, wollte mich nicht einmischen, aber du wurdest mir als off angezeigt, jetzt allerding wieder als on verwirrt

12.11.2010, 11:06

tigerbine

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Bin ich schon so schwach? geschockt

Wenn du Zeit hast, kannst du weitermachen. Bin was im Stress. Wink

12.11.2010, 12:16

mammia

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So jetzt habe ich das so gemacht,

I.A. n=7

I.V. Fü alle $\begin{eqnarray*} 7 \geq n \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} 2^{n}\geq 2n^{2} \end{eqnarray*}$ .

I.S. $\begin{eqnarray*} n ->n+1 \end{eqnarray*}$

zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} 2^{n+1}\geq 2(n+1)^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1}= 2\cdot 2^{n}\geq 2n^{2}\cdot 2\geq 2n^{2}+4n+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4n^{2}\geq 2n^{2}+4n+2 <=><br /> 2n^{2}\geq 4n+2 <=><br /> 2n^{2}-4n\geq 2<br /> <=>2(n-1)^{2}\geq 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1}\geq 2(n+1)^{2}= 2n^{2}-4n+2 \end{eqnarray*}$

Ist das so richitg?

12.11.2010, 13:29

tigerbine

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Da lgrizu nun doch nicht antwortet

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1}=2*2^n \end{eqnarray*}$

Wird mit der IV zu

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1}=2*2^n\geq2* 2n^2 = 4n^2 \end{eqnarray*}$

Mit dem Tipp (musst du den nachweisen?) ist es dann doch im nächsten Schritt schon fertig.

12.11.2010, 13:46

mamamia

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Hallo,

ne es steht nicht in der aufgabe das ich nachweisen soll, aber ich dachte das sollte man am besten immer machen. also reicht es wenn ich das jetzt nur so aufschreibe...

I.A. n=7

I.V. Fü alle $\begin{eqnarray*} 7 \geq n \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} 2^{n}\geq 2n^{2} \end{eqnarray*}$ .

I.S. $\begin{eqnarray*} n ->n+1 \end{eqnarray*}$

zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} 2^{n+1}\geq 2(n+1)^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1}= 2\cdot 2^{n}\geq 2n^{2}\cdot 2\geq 2n^{2}+4n+2 \end{eqnarray*}$

Ich danke euch wirklich habt mir echt toll geholfen...

12.11.2010, 13:50

tigerbine

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Nein, du sollst wegen

Zitat:

zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} 2^{n+1}\geq 2(n+1)^{2} \end{eqnarray*}$

schreiben

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1}=2*2^n \stackrel{IV}\geq2* 2n^2 = 4n^2 \stackrel{Tipp} \geq2(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Wenn du magst, kannst du den Tipp [m ist Tippfehler, oder?] dann in einer Extra Rechnung auch noch zeigen. smile

12.11.2010, 14:07

mamamia

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jep m ist ein tippfehler....ok so mache ich das ich danke dir ganz herzlich tigerbine für deine Hilfe....

12.11.2010, 14:07

tigerbine

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