Untersuchen auf konvergenz

12.11.2010, 01:49

Inuyasha2008

Untersuchen auf konvergenz

$\begin{eqnarray*} \frac{2^{n}+ 5^{n} }{(-3)^{n}+ 5^{n+1} } \end{eqnarray*}$

Hallo ich soll diese auf Konvergenz überprüfen und ggb den Grenzwert bestimmen.

Hab bisher das versucht:

$\begin{eqnarray*} \frac{2^{n}+ 5^{n} }{(-3)^{n}+ 5^{n} * 5 } \end{eqnarray*}$ =
$\begin{eqnarray*} \frac{5^{n}* (\frac{2^{n} }{5^{n} } + 1) }{5^{n}*( \frac{(-3)^{n} }{5^{n} } + 5) } \end{eqnarray*}$

dann streich ich die 5^n
jedoch wenn ich die auf den gleichen Nenner bring hab ich wieder das gleiche wie am Anfang.
hab die Brüche dann geteilt und 2^n/... + 5^n/...
aber das bringt mich auch nicht weiter. ICh weiß bisher nur das der Grenzwert 1/5 ist, da man 2 und -3 weglassen kann, da 5 größer ist und 5^n kann man streichen dann bleibt 1/5

12.11.2010, 04:45

minizicke1306

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Hallo Inuyasha2008,

die Aufgabe ist eigentlich ziemlich simpel. ich gebe dir mal nen tipp:
Wenn du eine gebrochene Funktion oder Folge auf Konvergenz überprüfen willst, so teilst du immer durch den größten Exponenten und kannst daran meist schon erkennen was der Grenzwert ist, falls dieser existiert.

Hast du beispielsweise eine Funktion mit $\begin{eqnarray*} \frac{x^5+3x^3+2}{3x^5-8x} \end{eqnarray*}$ teilst du durch $\begin{eqnarray*} x^5 \end{eqnarray*}$ und erhälst:
$\begin{eqnarray*} \frac{1+\frac{3}{x^2}+\frac{2}{x^5}}{3-\frac{8}{x^4}} \end{eqnarray*}$ .
Wie du wahrscheinlich weißt gilt für jede Folge/Funktion:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } f(x) = \lim_{x \to \infty } \frac{1}{x}= 0 \end{eqnarray*}$ .

Was bedeutet das also für dich? Durch was müsstest du teilen?!? Vielleicht kommst du ja jetzt drauf ;-)

Hoffe ich konnte helfen,
Dana

PS: Das geht bei jeder gebrochenen Funktion/Folge so, vorausgesetzt der Exponent im Nenner ist größer oder gleich dem Exponenten des Zählers, ansonsten müsstest du durch Null teilen und das darf bekanntlich nur Chuck Norris Big Laugh

12.11.2010, 05:07

minizicke1306

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EDIT:
Falls jedoch der Exponent des Nenners kleiner ist als der des Zählers, kannst du oft substituieren und nach der Resubstitution hast du dann deinen Grenzwert.

Etwas ausführlich alles Big Laugh

sorry dafür Augenzwinkern

PS: Gedanklich war dein Ansatz richtig, nur hast du diesen nicht aufgeschrieben Augenzwinkern

12.11.2010, 09:26

Inuyasha2008

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RE: Untersuchen auf konvergenz
$\begin{eqnarray*} \frac{5^{n}* (\frac{2^{n} }{5^{n} } + 1) }{5^{n}*( \frac{(-3)^{n} }{5^{n} } + 5) } \end{eqnarray*}$

nun ja das mit den x versteh ich und ist auch klar nur hab ich hier das Problem das ich hier :
$\begin{eqnarray*} \frac{\infty }{\infty } + 1 \end{eqnarray*}$
und im Nenner das gleiche nur +5

und $\begin{eqnarray*} \frac{\infty }{\infty } \end{eqnarray*}$ ist unbestimmt.

Und mit Substitution hab ich 5^n durch u ersetzt aber hab auch nichts brauchbares rausbekommen.
Oder kann man die beiden Brüche einfach streichen? Und es bleibt meine 1/5? :P Hammer

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{\infty }{\infty } }{\frac{\infty }{\infty } } \end{eqnarray*}$

12.11.2010, 09:59

klarsoweit

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RE: Untersuchen auf konvergenz
Warum kürzt du nicht das 5^n raus? verwirrt

Das war doch der Sinn, dieses auszuklammern.

12.11.2010, 10:38

Inuyasha2008

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hab ich ja gemacht steht auch im 1. Beitrag geschrieben ^^

Zitat:

dann streich ich die 5^n

nur weiß ich eben nicht was ich danach machen muss

12.11.2010, 10:50

minizicke1306

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POTENZREGELN, mein Freund Big Laugh

Das was du da stehen hast ist doch schon richtig... Du musst jetzt kürzen und dann die Potenzregeln anwenden und dann guckst du was passiert wenn du n gegen unendlich laufen lässt! smile

Du bist fast am Ziel!

12.11.2010, 10:53

klarsoweit

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RE: Untersuchen auf konvergenz
OK, das habe ich übersehen. Schauen wir uns jetzt mal den Zähler an und schreiben:

$\begin{eqnarray*} \frac{2^n}{5^n} + 1 = \left( \frac{2}{5} \right)^n + 1 \end{eqnarray*}$

Und wohin $\begin{eqnarray*} \left( \frac{2}{5} \right)^n \end{eqnarray*}$ konvergiert, sollte klar sein.

12.11.2010, 15:02

Inuyasha2008

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RE: Untersuchen auf konvergenz
ja stimmt gegen 0 Oo dann komm ich an die 1/5 xD danke ;-)

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