Komplexes Integrieren

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Gast1980 Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexes Integrieren
Hallo,

ich hab ein Problem mit folgender Aufgabe:

man soll zeigen das die in holomorphe Funktion in eine holom. Stammfuktion mit Hilfe des Hauptzweigs des Log. angeben.

Hat vielleicht jemand einen Ansatz?

Danke
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Versuch doch erstmal, "lokal" eine Stammfunktion zu finden, d.h. eine die zumindest in der Umgebung eines Punktes gültig ist. Das kann ja nicht so schwer sein, falls du die reelle Analysis nicht ganz vergessen hast...

Dann kannst du dich mit dieser Stammfunktion vortasten und sehen, ob du sie wegen der Mehrblättrigkeit des Logarithmus im Komplexen eventuell geeignet umbauen musst.
Gast1980 Auf diesen Beitrag antworten »

Das "Umbauen" ist gerade mein Problem:

ich weiß, dass nicht funktioniert, also muss ich doch irgendwie über die Nebenzweige des Log. gehen, oder? Aber wie stelle ich dies an?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Schon mal das dann naheliegende probiert?
Gast1980 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber die Regel log(z1) + log(z2) = log(z1/z2) ist doch im Komplexen nicht gültig, oder?
Gast1980 Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß wirklich nicht weiter, kann ich nicht irgendwie als Stammfunktion sowas wie angeben? Oder muss ich irgendwelche Fallunterscheiden vornehmen?
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast1980
Aber die Regel log(z1) + log(z2) = log(z1/z2) ist doch im Komplexen nicht gültig, oder?

Nein, ist sie nicht. Ich hab ja auch nicht behauptet, dass das eine äquivalente Umformung deines Terms ist.

Was ich aber behaupte ist, dass das ebenfalls eine lokal gültige Stammfunktion ist. Und zwar eine, die deiner gewünschten Lösung erheblich näherkommt - oder vielleicht sogar schon diese ist...



Mal allgemein ein kleiner "Diskurs" zu komplexen Logarithmusfunktion:

ist eine holomorphe Funktion auf

Jetzt betrachte mal mit einer beliebigen komplexen Konstanten . Diese Funktion ist holomorph auf , also die komplexe Ebene außer einem "Strahl" in Richtung . Die Ableitung dieser Funktion ist aber immer , unabhängig von . Jetzt kannst du das ganze auch noch in irgendeinen Punkt verschieben, also

,

und hast damit eine ganze Klasse von Stammfunktionen von , mit verschiedenen von ausgehenden "Ausnahmestrahlen", um es mal kurz und griffig zu formulieren.


Im vorliegenden Fall lohnt eine solche Überlegung mit z.B. sowie , ...
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