Babylonisches Wurzelziehen

12.11.2010, 15:19	cHilLz0Ne	Auf diesen Beitrag antworten »
Babylonisches Wurzelziehen Die Aufgabe die ich lösen muss: Gegeben sei für $\begin{eqnarray} n\in N \end{eqnarray}$ die rekursiv definierte Folge $\begin{eqnarray} a_{n+1} =\frac{1}{2} (a_{n} +\frac{b}{a_{n}} ) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_{1} = b+1, b>0 \end{eqnarray}$ a) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass $\begin{eqnarray} a_{n} \geq \sqrt{b} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\in N \end{eqnarray}$ gilt. Hinweis: Für alle $\begin{eqnarray} x,y \geq 0 \end{eqnarray}$ gilt die Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel $\begin{eqnarray} \sqrt{xy} \leq \frac{1}{2}(x+y) \end{eqnarray}$ b) Zeigen Sie, dass die Folge monoton fallend ist. c) Beweisen Sie, dass die Folge $\begin{eqnarray} (a_{n})_{n\in N} \end{eqnarray}$ konvergiert, und berechnen Sie den Grenzwert der Folge. Meine Ideen: Keine, mir fehlt total der Ansatz und ein Überblick, weil dort irgendwie alles ineinander verschachtelt ist. Ich hoffe jemand schafft es, mir die Zusammenhänge klar zu machen.
12.11.2010, 16:49	cHilLz0Ne	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir niemand dabei helfen?
12.11.2010, 17:13	cHilLz0Ne	Auf diesen Beitrag antworten »
Update. Was eine rekursive Folge ist weiß ich jetzt und auch, wie da babylonische Wurzelziehen funktioniert. Aber wie soll ich da eine vollständige Induktion durchführen? Was soll ich denn da mit was vergleichen?
18.11.2010, 10:08	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich hänge an derselben Aufgabe, nur ist die Fragestellung bei uns etwas anders konzipiert. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} a_n^{2} - b \ge 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ ist. Schließen Sie daraus, dass $\begin{eqnarray} a_n \ge \sqrt{b} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ ist. Wir haben die Ungleichung zwischen arithmet. und geometr. Mittel noch nicht gehabt und bei uns steht auch kein solcher Hinweis. Im Anschluss soll gezeigt werden, daß $\begin{eqnarray} a_{n} \ge a_{n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ ist. Wie kann ich an diese Aufgabe dann rangehen? Ibn Batuta

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