komplexe zahlen linear unabhängig

12.11.2010, 16:20

fikus

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komplexe zahlen linear unabhängig

aufgabe:
Entscheiden sie ob folgende vektoren linear unabhängig sind:

1) 1+i, 1+3i im R-VR C
2) 1+i, 1+3i im C-VR C
3) 1, Wurzel 3, Wurzel 5 im Q-VR R

Idee:

zwei vektoren sind linear unabhängig, wenn die koeffizienten der linearkombination null ergeben bzw den nullvektor.

mein frage wie sieht eine linearkombination von 2 komplexen zahlen aus?

zu 2) C ist ein eindimensionaler VR über sich selbst.
Bei einem eindimensionalen Raum kann es keine zwei unabhängigen Vektoren geben!
beweis weiß ich auch nicht genau wie ich das hinschreiben soll

12.11.2010, 16:30

lgrizu

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RE: komplexe zahlen linear unabhängig
der körper der komplexen zahlen ist isomorph zum zweidimensionalen rellen vektorraum, was bedeutet, dass C über R die dimension 2 hat Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.11.2010, 16:37

fikus

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wir hatten den begriff isomorph noch nicht ....

12.11.2010, 16:39

lgrizu

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RE: komplexe zahlen linear unabhängig
deshalb hab ich das dazugeschriben:

Zitat:

Original von lgrizu
.....was bedeutet, dass C über R die dimension 2 hat Augenzwinkern

Augenzwinkern

betrachte also die komplexen zahlen als zweidimensionalen vektorraum über dem körper der reellen zahlen

12.11.2010, 16:45

fikus

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öhm aha und das ist wie zu verstehen?^^

also voher war zB die aufgabe (-2,2,-2),(0,3,2),(2,4,6) im R-VR R³

so un da habe ich dann einfach wie folgt gerechnet:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = a * \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} + b* \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + c* \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

davon habe ich dann ein gleichungssystem gemacht und es gelöst mit der folge das a=b=c=0 ist also ist es linear unabhängig die drei vektoren

wie geht das jetzt bei den komplexen zahlen? (vllt etwas simpler erklärt^^)

12.11.2010, 16:51

lgrizu

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naja, wir nehmen die komplexen zahl a+bi, diese liegt in der komplexen zahleneben und entspricht dem zweidimensionalen vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , dann kannstg du aufgabe 1) so lösen, wie du es von vektoren gewöhnt bist.

zu aufgabe 2 hab ich mich vergessen zu äussern:

es ist richtig, C hat über C die dimension 1, also sind die beiden zahlen linear abhängig, man kann auc leicht sehen, dass $\begin{eqnarray*} (1+i)=\frac{2-i}{5} \cdot (1+3i) \end{eqnarray*}$ ist....

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12.11.2010, 16:59

fikus

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wäre das zu a dann wie folgt?:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = a * \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} + b* \begin{pmatrix} 1 \\ 3i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gleichungssytem
1) a+b = 0
2)a*i + b*3i=0

12.11.2010, 17:03

lgrizu

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lass das i da mal weg, ich hab doch ebend geschrieben, dass die komplexe zahl $\begin{eqnarray*} a+bi \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ dem vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ entspricht.

das bedeutet, dass zum beispiel die zahl $\begin{eqnarray*} 1+3i \end{eqnarray*}$ dem vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ entspricht, ein vektor in einem vektorraum über den reellen zahle kann keine imaginären einträge enthalten....

12.11.2010, 17:07

fikus

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ah okay danke

also dann hab ich für aufgabe 1

a=0
b=0
somit linear unabhängig

12.11.2010, 17:12

lgrizu

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das ist richtig.

die 2.) haben wir auch, dazu noch fragen?

...ansonste kannst du mal deine ideen zu 3) schildern....

12.11.2010, 17:18

fikus

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was schreib ich denn am besten zu b auf?

gleichungssystem

1) 0= a+b*i
2) 0=a+b*3i

ich sehe das noch nicht so greifbar das ergebnis...leider^^

12.11.2010, 17:20

lgrizu

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warum schreibst du den einen eindimensionalen vektor nicht einfach als linearkombination des anderen hin?

Zitat:

Original von lgrizu
zu aufgabe 2 hab ich mich vergessen zu äussern:

es ist richtig, C hat über C die dimension 1, also sind die beiden zahlen linear abhängig, man kann auc leicht sehen, dass $\begin{eqnarray*} (1+i)=\frac{2-i}{5} \cdot (1+3i) \end{eqnarray*}$ ist....

daraus ergibt sich auch direkt, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{2-i}{5} \cdot (1+3i)-1 \cdot (1+i)=0 \end{eqnarray*}$ , womit du eine linearkombi gefunden hast.....

12.11.2010, 17:35

fikus

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bei mir kommt etwas anderes heraus und zwar -1+3i wenn man das mit 2-i/5 rechnet?!

12.11.2010, 18:09

fikus

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und zum dritten teil denke ich, dass wurzel 2 und wurzel 5 doch gar nicht im q-vr r liegt oder?

12.11.2010, 21:03

lgrizu

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du sollst die reellen zahlen als vektorraum über Q betrachten, genauso, wie du die komplexen zahlen als vektorraum über R betrachten solltest....

sicherlich hast du recht, $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ sind keine rationalen zahlen, aber das ist hier nicht gefragt....

zunächst einmal kannst du den körper $\begin{eqnarray*} \mathbb K =\left\{ a+b\sqrt{3}, a,b \in \mathbb Q \right\} \end{eqnarray*}$ betrachten, welche dimension hat der über Q ?

liegt $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ in diesem körper?

Zitat:

Original von fikus
bei mir kommt etwas anderes heraus und zwar -1+3i wenn man das mit 2-i/5 rechnet?!

dann rechnest du falsch:

$\begin{eqnarray*} \frac{(2-i)(1+3i)}{5}=\frac{2-i+6i-3i^2}{5}=\frac{5+5i}{5}=1+i \end{eqnarray*}$

13.11.2010, 14:40

fikus

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stimmt ich habe mich verrechnet

aber ich weiß nur wie man das rechnet..

(a+bi)*(c+di)= (a*c-b*d)+(a*d+b*c)*i

wie ist das dann bei

(a-bi)*(c+di) ? ...könntest du mir das bitte kurz zeigen ich kenn dich rechenregel nicht^^

und zu den dimensionen...

die dimension ist gleich der anzahl der pivot elementen!

nur ich weiß nicht was die pivot elemte sind^^

13.11.2010, 14:51

lgrizu

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lies dir das erst mal in aller ruhe durch:

Zitat:

Original von lgrizu
du sollst die reellen zahlen als vektorraum über Q betrachten, genauso, wie du die komplexen zahlen als vektorraum über R betrachten solltest....

sicherlich hast du recht, $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ sind keine rationalen zahlen, aber das ist hier nicht gefragt....

zunächst einmal kannst du den körper $\begin{eqnarray*} \mathbb K =\left\{ a+b\sqrt{3}, a,b \in \mathbb Q \right\} \end{eqnarray*}$ betrachten, welche dimension hat der über Q ?

liegt $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ in diesem körper?

Zitat:

Original von fikus

wie ist das dann bei

(a-bi)*(c+di) ? ...könntest du mir das bitte kurz zeigen ich kenn dich rechenregel nicht

ist die gleiche rechenregel, du kannst die zahl a-bi auffassen als a+(-b)i....

wenn du dir unsicher bist, einfach unter zuhilfenahme des distributivgesetzes ausmultiplizieren....

13.11.2010, 15:11

fikus

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ich habe jetzt noch mal meine unterlagen durchgeschaut und wir hatten noch keine dimensionen...
bis jetzt nur basis also kann ich dir nichts zu dimensionen genau sagen

ich weiß nur das

N->Z->Q->R->C

nach links hin sind die im oberen enthalten

ist Q dann zweidimensional weil 2 unter Q sind oderzwei über Q ich hab keine ahnung leider....

13.11.2010, 15:18

lgrizu

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$\begin{eqnarray*} a \cdot 1 + b \cdot \sqrt{3} + c \cdot \sqrt{5} =0 \end{eqnarray*}$ , wobei a,b,c elemente aus Q sind.

nun versuche zuerst einmal, $\begin{eqnarray*} \sqrt{5}=\frac{-a}{c} \cdot 1 + \frac{-b}{c} \cdot \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ darzustellen, da $\begin{eqnarray*} a,b,c \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ sind auch $\begin{eqnarray*} \frac{-a}{c}, \frac{-b}{c} \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , also können wir mit $\begin{eqnarray*} \frac{-a}{c}=k, ~\frac{-b}{c}=l,~k,l \in \mathbb Q, k,l \neq 0 \end{eqnarray*}$ schauen, ob es skalare k,l gibt, mit

$\begin{eqnarray*} \sqrt{5}=k \cdot 1 + l \cdot \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ , gibt es diese skalare aus Q

14.11.2010, 17:25

fikus

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folgende idee:

$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{5} /\sqrt{3} \right) - k*1=l \end{eqnarray*}$

wenn wir nun k=0 setzen haben wir nur noch

$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{5} /\sqrt{3} \right)=l \end{eqnarray*}$

l muss aus Q sein ist in diesem fall aber nicht aus Q also sind die zahlen kein Q-Vektorraum R?!

14.11.2010, 17:52

ospupil

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RE: komplexe zahlen linear unabhängig
hier ist die lösung zu 2e von Lineare Algebra 1 Ü4

mediafire.com/?d3gu1n17ob28zcd

14.11.2010, 17:57

fikus

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öhm ja cool danke smile

smile

welche aufgaben haste noch gemacht?

14.11.2010, 18:21

ospupil

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aufgabe 1. habe ich fertig und glaube auch richtig.

bei 2 bin ich gerade und danach 3.

14.11.2010, 18:24

fikus

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ahso jo 1 und 2 hab ich jetzt auch richtig alles

lese gerade das skript

gleich dann 4

wennde die aufgabe genau so bei google im inet eintippts und dann den ersten link anklickts haste ganz unten auf der seite vom link die lösung von nr.4 Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.11.2010, 18:24

ospupil

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RE: komplexe zahlen linear unabhängig

Zitat:

Original von ospupil
hier ist die lösung zu 2e von Lineare Algebra 1 Ü4

mediafire.com/?d3gu1n17ob28zcd

ich habe da einen fehler, das muss heißen nach (ii)

ich hatte das noch einmal abgeschrieben und dabei ein 1 vergessen.

14.11.2010, 18:30

fikus

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ja danke hatte ich auch schon bemerkt smile

smile

14.11.2010, 18:36

lgrizu

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RE: komplexe zahlen linear unabhängig
@ospupil:

komplettlösungen werden nicht gerne gesehen, da hat der fragesteller nichts von...

du hättest, statt einfach deine hausaufgabe einzuscannen auch einfach ein wenig zeit investieren können, um fikus dabei zu helfen, die aufgabe zu lösen....

gespräche darüber, welche aufgaben von welchem übungsblatt ihr noch zu lösen habt oder auch nicht führt ihr vielleicht besser über skype, msn oder sowas dies ist ausserhalb des OT bereichs kein forum für small talks....

ich weiß auch nicht, was ich von solchen tips halten soll:

Zitat:

Original von fikus

wennde die aufgabe genau so bei google im inet eintippts und dann den ersten link anklickts haste ganz unten auf der seite vom link die lösung von nr.4 Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.11.2010, 18:38

fikus

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ja okay hast recht war scheiße^^
kommt nicht wieder vor, die verzweiflung im ersten semester treibt einen manchmal^^

14.11.2010, 18:42

ospupil

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wie war denn jetzt dein ansatz bei c und d?

14.11.2010, 18:47

fikus

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bei c kannste das i vernachlässigen, da es sich im R-VR befindet.

dann halt auf lineare unabhängigkeit prüfen

bei d wars schon schwieriger steht eigtl shcon einiges hier drin meine ich...

du musst wieder auf lineare unabhängigkeit prüfen und dann versuchen die skalare zu finden . wenn diese null sind dann linear unabhängig . wenn du sie bestimmen kannst meine ich dann sind sie linear abhängig

14.11.2010, 22:17

kuckuck

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komplexe Zahlen
Woher kommt 2-i/5???

15.11.2010, 09:59

lgrizu

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RE: komplexe Zahlen
meinst du, woher $\begin{eqnarray*} \frac{2-i}{5} \end{eqnarray*}$ kommt?

löse $\begin{eqnarray*} 1+i= a \cdot (1+3i) \end{eqnarray*}$ nach a auf....

15.11.2010, 17:55

kuckuck

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komplexe Zahlen
Danke, habe ich vorhin auch schon gemerkt :S Dumme Frage, aber habe draus gelernt smile

smile

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