Satz von Bolzano-Weierstraß

13.11.2010, 03:40	Erster	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Bolzano-Weierstraß Meine Frage: (a) Warum gibt es eine Folge (an) unter deren Gliedern alle rationalen Zahlen vorkommen? Anders ausgedrückt, warum existiert eine Folge (an), so dass es für jedes q element Q mindestens ein n gibt, so dass an = q. (Eine kurze Begründung genügt.) (b) Es sei (an) nun eine Folge, unter deren Gliedern alle rationalen Zahlen vorkommen. Es sei z element R eine beliebige reelle Zahl. Zeigen Sie, dass es Intervalle [xk; yk]; k größergleich 0 gibt mit folgenden Eigenschaften: (1) [xk, yk] Menge von [xk-1, yk-1] (falls k größergleich 1), (2) [xk, yk] enthält unendlich viele Folgenglieder und es enthält z, (3) yk - xk = 1/2^k. (c) Es sei (an) nun eine Folge, unter deren Gliedern alle rationalen Zahlen vorkommen. Es sei z element R eine beliebige reelle Zahl. Zeigen Sie, dass es eine Teilfolge gibt, welche gegen z konvergiert. Meine Ideen: Für den Beweis von b) und c) kann ich den Satz von Bolzano-Weierstraß modifizieren. Dieser besagt ja, dass jede beschränkte Zahlenfolge, mindestens einen Häufungswert besitzt. Wie kann ich jetzt den Beweis vom Satz von Bolzano-Weierstraß zielführend für diese Aufgabe anwenden? Vielen Dank im Voraus. Mit freundlichen Grüßen
13.11.2010, 07:59	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
a) $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ ist abzählbar. b)Erstmal brauchst du geeignete Intervallgrenzen. Baue dazu eine Intervallschachtelung um z und beachte (3).
14.11.2010, 01:03	Erster	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die a) kann ich einach nur hinschreiben das Q abzählbar ist? Für b) Sind da die Intervallgrenzen nicht einfach xk und yk? Eine Intervallschachtelung um z bauen, da unendlich viele Folgenglieder für die Intervallgrenzen [xk,yk] existieren und z beinhaltet ist? Wie mach ich das denn dann? Grüße
14.11.2010, 01:47	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Schau dir an was Abzählbarkeit bedeutet und was eine Folge ist. Du solltest dann a) für alle abzählbaren Mengen zeigen (und somit auch für die rationalen Zahlen) zeigen können. b) $\begin{eqnarray} x_k, y_k \end{eqnarray}$ sind nur Namen. Was ich mit bauen meine ist, dass du Intervallgrenzen in Abhängigkeit von z suchen sollst, sodass sich der Durchmesser der Intervalle bei jedem Schritt halbiert.
17.11.2010, 12:10	LoBi	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe die selbe Aufgabe: Ich fang einfach mal mit b) an Also ich wähle z so das es in der Mitte des Intervalls liegt. $\begin{eqnarray} z:=\frac{y_k-x_k}{2} \end{eqnarray}$ Außerdem gilt: $\begin{eqnarray} a_n \in [x,y] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x,y \in \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ unbeschränkt. Jetzt muss ich eine Induktion machen: Dafür setze ich: $\begin{eqnarray} [x_0,y_0] = [x,y] \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} k=0 \end{eqnarray}$ gilt (2),(3) ( (1) soll erst ab $\begin{eqnarray} k>=1 \end{eqnarray}$ gelten) Als nächstes konstruiere ich das Interval $\begin{eqnarray} [x_k,y_k] = [x_k,z] \cup [z,y_k] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} [x_k,y_k] \end{eqnarray}$ enthält unendlich viele Folgenglieder von $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow [x_k,z] \vee [z,y_k] \end{eqnarray}$ enthält unendlich viele Folgenglieder Setze jetzt: $\begin{eqnarray} [x_{k+1},y_{k+1}] = [x_k,z] \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} [x_{k+1},y_{k+1}] = [z,y_k] \end{eqnarray}$ Je nachdem welches Teilinterval unendlich viele Folgenglieder enthält. Die Eigenschaften (1) (2) gelten also wieder Für Eigenschaft (3)muss ich jetzt zeigen $\begin{eqnarray} y_{k+1}-x_{k+1}= \frac{1}{2^{k+1}} \end{eqnarray}$ (????) Hier komm ich nicht weiter ? Habe ich überhaupt das z richtig gewählt ?

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