Linearkombination

13.11.2010, 11:46

Berti-82

Linearkombination

Hallo, ich bräuchte mal wieder eure Hilfe.
Ich soll den Ortsvektor OK als Linearkombination von OA, OB, OC und OD darstellen.
Die Strecke AB wird durch den Punkt M halbiert, die Strecke CD wird durch den Punkt N halbiert und der Punkt K halbiert die Strecke MN. Ich habe mir eine Skizze gezeichnet, finde aber irgendwie keinen Ansatz. Wie geht man bei einer solchen Aufgabe vor? Bin für Hinweise dankbar.

13.11.2010, 11:51

lgrizu

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RE: Linearkombination
der ortsvektor von M ist $\begin{eqnarray*} \vec{0A}+ \frac{1}{2} \vec{AB} \end{eqnarray*}$ , kannst du nun den ortsvektor von N aufstellen?

13.11.2010, 11:57

Berti-82

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$\begin{eqnarray*} ON=OC+\frac{1}{2} CD \end{eqnarray*}$ (die Vektorpfeile bekomme ich nicht hin)

13.11.2010, 12:22

Berti-82

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Den Vektor OK kann ich also durch die Linearkombination:

$\begin{eqnarray*} OK=\frac{1}{2} ((OC+\frac{1}{2} CD)-(OA+\frac{1}{2} AB)) \end{eqnarray*}$

darstellen

Ist das korrekt?

13.11.2010, 13:27

lgrizu

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schritt für schritt....

wir haben also:

$\begin{eqnarray*} \vec{0N}= \vec{0C}+ \frac{1}{2} \vec{CD} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{0M}=\vec{0A} + \frac{1}{2} \vec{AB} \end{eqnarray*}$

soweit okay, jetzt bilden wir den ortsvektor von K:

$\begin{eqnarray*} \vec{0K}= \vec{0M}+ \frac{1}{2} \vec{MN}=\vec{0A} + \frac{1}{2} \vec{AB}+\frac{1}{2} \left( \vec{0N}- \vec{0M} \right)=\vec{0A} + \frac{1}{2} \vec{AB}+\frac{1}{2}\left( \left( \vec{0C}+ \frac{1}{2} \vec{CD} \right) -\left( \vec{0A} + \frac{1}{2} \vec{AB}\right) \right) \end{eqnarray*}$

nun muss man die vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{AB} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{CD} \end{eqnarray*}$ noch als linearkombination von den ortsvektoren von A, B, C, D darstellen, dann ausklammern und vereinfachen....

13.11.2010, 13:52

Berti-82

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$\begin{eqnarray*} OK=OA+\frac{1}{2} OB-\frac{1}{2} OA+\frac{1}{2} ((OC+\frac{1}{2} OD-\frac{1}{2} OC)-(OA+\frac{1}{2} OB-\frac{1}{2} OA)) \end{eqnarray*}$

13.11.2010, 14:04

Berti-82

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Zusammengefasst erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} OK=\frac{5}{4} OA+\frac{1}{4} OB+\frac{1}{4} OC+\frac{1}{4} OD \end{eqnarray*}$

Korrekt?

13.11.2010, 15:04

lgrizu

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fast..

das skalar von $\begin{eqnarray*} \vec{0A} \end{eqnarray*}$ ist falsch, rechenfehler?

13.11.2010, 15:14

Berti-82

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Ja, ich habe mich verrechnet.
Das korrekte Ergebnis müsste

$\begin{eqnarray*} OK=\frac{1}{4} OA+\frac{1}{4} OB+\frac{1}{4} OC+\frac{1}{4} OD \end{eqnarray*}$

lauten, oder?

13.11.2010, 15:19

lgrizu

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Zitat:

Original von Berti-82
Ja, ich habe mich verrechnet.
Das korrekte Ergebnis müsste

$\begin{eqnarray*} OK=\frac{1}{4} OA+\frac{1}{4} OB+\frac{1}{4} OC+\frac{1}{4} OD \end{eqnarray*}$

lauten, oder?