Berechnung mithilfe der geometrischen Summenformel

13.11.2010, 13:07

Stuffinchen

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Berechnung mithilfe der geometrischen Summenformel

Meine Frage:
Hallo,
für mein Studium muss ich einige Aufgaben im Bereich der Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler lösen und stehe völlig auf dem Schlauch :-/

Die Aufgabe ist:

Berechnen Sie mithilfe der geometrischen Summenformel die folgenden Ausdrücke:

a) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=2}^{n-1}\frac{2^i-1}{3^i} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Die geometrische Summenformel lautet ja:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n q^i = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$

jetzt müsste ich doch versuchen, die aufgabe a) in diese Summenformel umzuwandeln!? wobei ich hierbei nicht weiß, wie ich Anfangen soll.

Kann mir jemand helfen?

EDIT: Latextags hinzugefügt (klarsoweit)

13.11.2010, 13:39

klarsoweit

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RE: Berechnung mithilfe der geometrischen Summenformel
Elementare Bruchrechnung führt zu $\begin{eqnarray*} \frac{2^i-1}{3^i} = \frac{2^i}{3^i} - \frac{1}{3^i} \end{eqnarray*}$ .

Noch etwas umformen und dann kannst du die Summenformel anwenden.

Tipp: Latexcode in

code:
1:	[latex]...[/latex]

schreiben.

14.11.2010, 11:12

Stef1987

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Tippfehler
oh, sorry ich habe mich vertippt, die -1 ist noch mit in der Potenz.

also:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=2}^{n-1} \frac{2^{i-1}}{3^i} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt für i=2 einseze bleiben mir doch

$\begin{eqnarray*} \frac{2^{i-1}}{3^i}= \frac{2}{9} \end{eqnarray*}$

Also ist doch laut der geo. summenformel q $\begin{eqnarray*} = \frac{2}{9} \end{eqnarray*}$
aber ich benötige doch q^i
Weiterhin müsste ich doch dann i= 0 setzen

also: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^{n-3} \end{eqnarray*}$

14.11.2010, 13:58

Stef1987

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Lösung?
habe es jetzt glaub ich richtig gelöst.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=2}^{n-1} \frac{2^{i-1}}{3^i} = \frac{1}{2}* \sum\limits_{i=2}^{n-1} (\frac{2}{3})^i = \frac{1}{2}* \sum\limits_{i=0}^{n-3} (\frac{2}{3})^{i+2} = \frac{1}{2}* \frac{4}{9} \sum\limits_{i=0}^{n-3} (\frac{2}{3})^i = \frac{2}{9}\sum\limits_{i=0}^{n-3} (\frac{2}{3})^i \end{eqnarray*}$

Jetzt die geometrische Summenformel anwenden:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{9}*\sum\limits_{i=0}^{n-3} (\frac{2}{3})^i = \frac{2}{9}*\frac{1-(\frac{2}{3})^{n-2} }{1-\frac{2}{3}} = \frac{2}{9}*\frac{1-(\frac{2}{3})^{n-2}}{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3}* (1-(\frac{2}{3})^{n-2}) \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt?

Meine weitere Frage wäre:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=-2}^{n} \frac{1}{10^i} \end{eqnarray*}$

dort habe ich nur im Nenner die Potenz i
Wie kann ich dies am besten umformen um, die geometrische Summenformel anzuwenden?

Freue mich auf eure Hilfe.

14.11.2010, 14:11

Black

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RE: Lösung?

Zitat:

Original von Stef1987

Ist das korrekt?

Ja, aber das kannst du noch etwas vereinfache.

Zitat:

Original von Stef1987
Meine weitere Frage wäre:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=-2}^{n} \frac{1}{10^i} \end{eqnarray*}$

dort habe ich nur im Nenner die Potenz i
Wie kann ich dies am besten umformen um, die geometrische Summenformel anzuwenden?

Freue mich auf eure Hilfe.

Was stört dich an dieser Summe? Du musst genauso vorgehen wie bei der anderen Aufgabe, also Index der Summe auf 0 bringen. Und dann die Formel anwenden.
Bedenke dass $\begin{eqnarray*} \frac {1}{10^i}={(\frac {1}{10})}^i \end{eqnarray*}$

14.11.2010, 14:17

Stef1987

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außerdem soll ich mit diesen beiden Aufgaben auch den Grenzübergang
$\begin{eqnarray*} n\Rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ durchführen.
Was ist damit gemeint?

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14.11.2010, 14:24

Black

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Berechne $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \end{eqnarray*}$ von deinem Ergebnis, und stelle fast das dann das gleiche rauskommt, wie wenn du $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=2}^{\infty} \frac{2^{i-1}}{3^i} \end{eqnarray*}$ berechnet hättest.

14.11.2010, 14:36

Stef1987

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RE: Lösung?

Zitat:

Original von Black
Ja, aber das kannst du noch etwas vereinfache.

Ok, das wäre dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}*(1-(\frac{9}{4})^n) \end{eqnarray*}$ ?

14.11.2010, 14:39

Black

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RE: Lösung?

Zitat:

Original von Stef1987

Zitat:

Original von Black
Ja, aber das kannst du noch etwas vereinfache.

Ok, das wäre dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}*(1-(\frac{9}{4})^n) \end{eqnarray*}$ ?

Wo kommen denn jetzt die $\begin{eqnarray*} (\frac {9}{4})^n \end{eqnarray*}$ her?

14.11.2010, 14:58

Stef1987

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auf die $\begin{eqnarray*} \frac{9}{4} \end{eqnarray*}$ komme ich wenn ich doch $\begin{eqnarray*} \frac{2^{-2}}{3^{-2}} \end{eqnarray*}$ ausrechne!?

Zitat:

Original von Black
Berechne $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \end{eqnarray*}$ von deinem Ergebnis, und stelle fast das dann das gleiche rauskommt, wie wenn du $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=2}^{\infty} \frac{2^{i-1}}{3^i} \end{eqnarray*}$ berechnet hättest.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=2}^{\infty} \frac{2^{i-1}}{3^i} \end{eqnarray*}$

soetwas hab ich noch nie gemacht, könntest du mir einen weiteren Tipp geben wie ich weiter rechne?
Muss ich jetzt die Formel der geometrischen Reihe anwenden? $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^{\infty} q^{i}= \infty \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} | q | \geq \infty \end{eqnarray*}$

ich komme jetzt leider nur überhaupt nicht weiter verwirrt

verwirrt

14.11.2010, 15:01

Black

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Zunächst einmal wäre es eigentlich sinnvoller so umzuformen:
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}* (1-(\frac{2}{3})^{n-2})=\frac {2}{3}-(\frac {2}{3})^{n-1} \end{eqnarray*}$

Und nun musst du $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac {2}{3}-(\frac {2}{3})^{n-1} \end{eqnarray*}$ berechnen.

14.11.2010, 15:22

Stef1987

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ok, danke für die info.

Zitat:

Original von Black
Und nun musst du $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac {2}{3}-(\frac {2}{3})^{n-1} \end{eqnarray*}$ berechnen.

mein Ansatz dafür wäre:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac {2}{3}-(\frac {2}{3})^{n-1}=\frac{\lim(2)}{\lim(3)} -(\frac{\lim(2)}{\lim(3)})^{n-1} \end{eqnarray*}$

Da der Nenner größer ist als der Zähler läuft es doch gegen 0 oder?

weiß leider nicht weiter... verwirrt

verwirrt

14.11.2010, 15:24

Black

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Ganz allgemein:

Was ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} q^n \end{eqnarray*}$ wenn |q|<1 ?

Und was ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} c \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

14.11.2010, 15:33

Stef1987

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Zitat:

Original von Black
Ganz allgemein:

Was ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} q^n \end{eqnarray*}$ wenn |q|<1 ?

Und was ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} c \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} q^n \end{eqnarray*}$ wenn |q|<1 wäre 0

und

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} c \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ wäre $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ oder?

aber in meinem Fall ist doch q= $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} \geq 1 =\infty \end{eqnarray*}$

14.11.2010, 15:35

Black

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Also meines Wissens ist 2/3 immernoch kleiner als 1 Lehrer

Lehrer

Warum sollte $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} c = \infty \end{eqnarray*}$ sein? Siehst du irgendwo dass dein c von n abhängt?

14.11.2010, 15:39

Stef1987

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ups

Hammer

kleiner 1

ehm... also wäre beides 0

14.11.2010, 15:40

Black

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Zitat:

Original von Stef1987
ups Hammer

Hammer

kleiner 1

ehm... also wäre beides 0

Warum sollte $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} c = 0 \end{eqnarray*}$ sein? Siehst du irgendwo dass dein c von n abhängt?

14.11.2010, 15:44

Stef1987

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dann ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } c \end{eqnarray*}$ =1

14.11.2010, 15:47

Black

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Es scheint mir so, als ob du den Grenzwertbegriff noch nicht verinnerlichst hast.

Stell dir eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ vor, wobei $\begin{eqnarray*} a_n=c \end{eqnarray*}$ für alle n

Was wäre dann $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_n \end{eqnarray*}$ ?

14.11.2010, 15:54

Stef1987

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_n \end{eqnarray*}$ wäre dann a $\begin{eqnarray*} \neq \pm \infty \end{eqnarray*}$

14.11.2010, 16:01

Black

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a?

14.11.2010, 16:03

Stef1987

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ja, so steht es auch in meinem Buch

14.11.2010, 16:11

Black

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In deinem Buch steht, dass bei $\begin{eqnarray*} a_n=c \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall n<br /> <br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_n=a \end{eqnarray*}$ ist?

14.11.2010, 16:15

Stef1987

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nein, du hast recht, ich habe mich verguckt, finde bei mir aber nirgens eine Regel dafür

14.11.2010, 16:16

Black

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Wenn eine Folge immer den gleichen Wert annimt, was wird dann wohl der Grenzwert sein?

14.11.2010, 16:20

Stef1987

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na dieser gleiche Wert, den die Folge immer annimmt !?!

14.11.2010, 16:23

Black

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Genau, also was ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac {2}{3} \end{eqnarray*}$ ?

14.11.2010, 16:26

Stef1987

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achsoooo

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$
und was mache ich mit der Potenz n-1?

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}^{n-1} \end{eqnarray*}$ wären dann doch $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}^n \end{eqnarray*}$

14.11.2010, 16:28

Black

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Es ging jetzt nur um $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac {2}{3} \end{eqnarray*}$ , aber was $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} -(\frac {2}{3})^{n-1} \end{eqnarray*}$ ist hast du ja weiter vorne schoneinmal richtig gesagt.
Und damit kannst du jetzt auch sagen was $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac {2}{3}-(\frac {2}{3})^{n-1} \end{eqnarray*}$ ist

14.11.2010, 16:34

Stef1987

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Da der Nenner größer ist als der Zähler läuft es gegen 0

Also wäre doch die Lösung dann 2/3 oder?

14.11.2010, 16:36

Black

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Das ist richtig.

14.11.2010, 16:40

Stef1987

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super vielen Dank für deine Hilfe.

Jetzt habe ich noch ein ganzes Übungsblatt vor mir :-(

14.11.2010, 16:44

Black

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Nur Übung macht den Meister. Ohne die Übungsblätter hätte ich wahrscheinlich nie nen Finger krumm gemacht Big Laugh

Big Laugh

Ich kann dir nur empfehlen dich da voll reinzuhängen, und du wirst sehen dass die mit der Zeit viel leichter von der Hand gehen.

14.11.2010, 16:48

Stef1987

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wenn ich jetzt vor den 2/3 ein negatives Zeichen gehabt hätte, wäre die lösung dann -2/3?

14.11.2010, 16:51

Black

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Ja, denn der Grenzwert einer konstante, ist immer gleich der Konstanten

14.11.2010, 16:52

Stef1987

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ahja, ok. Vielen vielen Dank, du hast mir sehr geholfen.

14.11.2010, 17:19

Stef1987

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Was wäre denn wenn der Nenner kleiner ist als der Zähler?
Eigentlich geht es dann gegen unendlich, nicht gegen 0 oder?

z.B. komme bei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=2}^{n-1} \frac{3^{i-1}}{2^i} \end{eqnarray*}$ nach umformen und Anwendung der geometrischen Summenformel auf das Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} -\frac{3}{2} * (\frac{3}{2})^{n-1} \end{eqnarray*}$

dort möchte ich wieder den Grenzübergang n $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ durchführen.

Wäre dann meine Lösung $\begin{eqnarray*} -\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ ?

14.11.2010, 21:01

Black

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Nun git ja $\begin{eqnarray*} -\frac{3}{2} * (\frac{3}{2})^{n-1}=- (\frac{3}{2})^{n} \end{eqnarray*}$ und das geht wie du gesagt hast gegen unendlich

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