Relationen |
| 13.11.2010, 13:57 | asdfkhsdf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Relationen Hallo zusammen, mir sind so ein paar Dinge bei Relationen nicht ganz klar. Erstmal die Aufgabe: Sei M = . Untersuchen Sie die Relationen Ri MxM i=1,2...5 auf die Eigenschaften reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch und transitiv. (a) R1 = (b) R2 = Meine Ideen: zur (a) habe ich: refelxiv, da (x,x)R1 für alle x. antisymm., da aus(x,y)R1 und (y,x)R1 x=y folgt. nicht transitiv, da es keine Relation zwischen ungleichen Elementen gibt. bei der b habe ich nur, das es nicht reflexiv ist, da kein Element zu sich selbst in Relation steht. Bei der Symmetrie fängts dann an. Die Relationen (5,6) und (6,5) fehlen ja. Heißt das dann das die Relation nicht symm. ist? Also müssen alle mögichen symm. Relationen enthalten sein? Dementsprechend die gleiche Frage bei der Transitivität. Es gäbe ja die Relationen (1,2), (2,3) und (1,3). Liege ich in meiner Vermutung richtig, dass alle möglichen Relationen enthalten sein müssen, damit man die Aussage das es transitiv bzw symmetrisch ist treffen kann? Oder hab ich etwas gänzlich falsch verstanden? Vielen Dank! |
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| 13.11.2010, 14:14 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das hast du noch nicht vollständig richtig verstanden. Jede Eigenschaft einer Relation hat eine eigene Definition, und nur die ist jeweils zu prüfen. (a) ist reflexiv, antisymmetrisch, aber auch symmetrisch und transitiv. (b) ist symmetrisch. transitiv habe ich nicht geprüft. Es müssen nicht alle möglichen Paare in der Relation liegen, die Aussagen beziehen sich nur auf die vorhandenen Elemente. Nur bei reflexiv steht die Aussage "für alle Elemente der Menge". |
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| 13.11.2010, 14:32 | Schreckschraube | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Könntest du genauer erläutern warum die a transitiv ist. ich verstehe es nicht. |
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| 13.11.2010, 14:46 | Schreckschraube | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
achso....die eigenschaft der (a) wären dann alle zahlenpaar a,b für die gilt a=b und wenn a=b und b=c dann gilt auch a=c und demnach transitiv?!?! |
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| 13.11.2010, 15:52 | Pavel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Damit gehst du sozusagen den beweistechnischen Weg: "R ist die Gleichheitsrelation auf der Menge M. Da die Gleichheitsrelation eine Äquivalenzrelation ist, muss R also transitiv sein." Was nun noch fehlt, ist die Begründung, warum R1 denn die Gleichheitsrelation ist. Das kannst du ja nicht einfach so behaupten. (Habt ihr die Gleichheitsrelation auf einer Menge definiert, und wenn ja, wie?) Ein anderer Weg wäre, einfach zu prüfen, ob die allgemeine Definition der Transitivität einer Relation R auf einer Menge M: erfüllt ist. |
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| 13.11.2010, 16:50 | Schreckschraube | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
danke für deine antwort! dennoch bekomme ich irgendwie nicht die kurve.... die gleichheitsrelation haben wir nicht definiert! also wenn ich wie in einem unserer beispiele aus dem skript mit der "kleiner gleich" relation die eigenschaft gegeben habe dann kann ich diese ja allgemein auf refl., symm. usw prüfen. denn x ist immer kleiner/gleich x usw. wenn ich nun aber nicht genau sagen kann was es für eine relation ist und nach der allgemeinen definition der transitivität gehe wie kann ich dann daraus schließen das die (a) transitiv ist? denn es ist ja nur angegeben das jedes element zu sich selbst in relation steht?!!? ich versteh echt nicht wo mein denkfehler ist...sorry! |
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| 13.11.2010, 17:58 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du einen Denkfehler hast, kann er darin liegen, dass du bei der Definition der Eigenschaften von Relationen die Quantoren nicht berücksichtigst. Diese sind entscheidend wichtig. Beispiel R1. Beispiel Transitivität. Für alle x,y,z gilt (x,y) in R1 und (y,z) in R1, dann ist auch (x,z) in R1. Das sieht man sofort ein, wenn man mit einem beliebigen x=1,2,...,6 anfängt. Es gibt nur (x,y)=(x,x), also (y,z)=(y,y)=(x,x) in R1. Das heißt für alle ((x,y),(y,z)) in R1xR1 ist (x,z)=(x,x) in R1, also R1 transitiv. |
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| 13.11.2010, 19:20 | Schreckschraube | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
den gedankengang hatte ich vorhin mal, nur konnte ihn nicht fassen! glaube ich habs gerafft. danke für die hilfe! 
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