Indexverschiebung bei reihen

13.11.2010, 15:24

Helinke

Indexverschiebung bei reihen

Meine Frage:
Hallo,

Ich bin momentan am verzweifeln. Habe Folgen und Reihen soweit verstanden, allerdings verstehe ich die Indexverschiebung bei Reihen nicht so ganz.
Ich habe mir die allgemeine Regel für Indexverschiebung bei Summen angeschaut und würde die gerne bei meinen Aufgaben anwenden, allerdings komme ich dann auf andere Ergebnisse als meine Uni.
Folgende Aufgabe:
Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz und bestimmen Sie ggbf ihren Grenzwert $\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=2}^n \frac{1}{2}^{k} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
ich würde eine indexverschiebung hier vornehmen, da ich so auf die Formel für die geometrische Reihe komme.
Mein Ansatz: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n \frac{1}{2}^{k} = \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{2}^{k+2} = 2 \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{2}^{k} \end{eqnarray*}$ Ist dies nicht genau wie die Indexverschiebung funktioniert?

Unser Lösungsbuch rechnet dies so:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n \frac{1}{2}^{k} = \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{2}^{k} - \frac{1}{2}^{0} - \frac{1}{2}^{1} = \sum\limits_{k=2}^n \frac{1}{2}^{k}- \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand helfen? Würde mich freuen.

13.11.2010, 15:31

Helinke

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habe mich verschrieben...vor dem Sigma steht natürlich 1/4

13.11.2010, 20:44

Manni Feinbein

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RE: Indexverschiebung bei reihen

Zitat:

Original von Helinke
ich würde eine indexverschiebung hier vornehmen, da ich so auf die Formel für die geometrische Reihe komme.
Mein Ansatz: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n \frac{1}{2}^{k} = \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{2}^{k+2} = 2 \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{2}^{k} \end{eqnarray*}$ Ist dies nicht genau wie die Indexverschiebung funktioniert?

Nicht ganz, denn Du hast die obere Grenze außer Acht gelassen.

Es gilt vielmehr:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n \left(\frac 12\right)^{k} = \sum_{k=0}^{n-2} \left(\frac 12\right)^{k+2} = \frac 14 \sum_{k=0}^{n-2} \left(\frac 12\right)^k = \frac 14\frac {1-\left(\frac 12\right)^{n-1}}{1-\frac 12}=\frac {1-\left(\frac 12\right)^{n-1}}2 \end{eqnarray*}$

Und wenn Du stattdessen so vorgehst:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n \left(\frac12\right)^{k} = \sum_{k=0}^n \left(\frac12\right)^k- \frac32=\frac {1-\left(\frac 12\right)^{n+1}}{\frac 12}-\frac 32=\frac {1-\left(\frac 12\right)^{n-1}}2 \end{eqnarray*}$

kommt - wie zu erwarten war - das gleiche raus.
Damit sollte die Indexverschiebung klar sein und der Grenzwertbetrachtung nichts mehr im Wege stehen.

14.11.2010, 11:47

Helinke

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erstmal vielen dank für die antwort Augenzwinkern

habe es aber noch nicht ganz nachvollziehen können...

Zitat:

Es gilt vielmehr: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n \left(\frac 12\right)^{k} = \sum_{k=0}^{n-2} \left(\frac 12\right)^{k+2} = \frac 14 \sum_{k=0}^{n-2} \left(\frac 12\right)^k = \frac 14\frac {1-\left(\frac 12\right)^{n-1}}{1-\frac 12}=\frac {1-\left(\frac 12\right)^{n-1}}2 \end{eqnarray*}$

warum ist der exponent in den letzten beiden termen n-1?? Oder soll da eigentlich n-2 stehen?

14.11.2010, 12:58

Abakus

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Zitat:

Original von Helinke
warum ist der exponent in den letzten beiden termen n-1?? Oder soll da eigentlich n-2 stehen?

Schau dir die Formel für die geometrische Summe an, im Ergebnisterm steht u.a. ein um 1 höherer Exponent als der Endindex der Summe.

Grüße Abakus smile

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