Komplexe Gleichung nach z auflösen

13.11.2010, 16:27

Janni87

Komplexe Gleichung nach z auflösen

Hallo Leute, ich habe eine Frage zu folgender Gleichung:

$\begin{eqnarray*} -4\cdot z^{2} +4\cdot iz +1 = 0 \end{eqnarray*}$

Kann ich hier ohne weiteres die p-q formel benutzen oder die quadratische Ergänzung??
Wenn i nicht dabei wäre ginge es.

Geht es aber auch in diesem Beispiel??

Also ich habe versucht z durch (a+ib) zu ersetzen.

Dann kommt am Ende raus:

4a^2+8aib-4b^2+4ia+4ib = 0

Aber wie resultiert z jetzt daraus??

13.11.2010, 17:05

Ibn Batuta

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RE: Komplexe Gleichung nach z auflösen

Zitat:

Original von Janni87
Hallo Leute, ich habe eine Frage zu folgender Gleichung:

$\begin{eqnarray*} -4\cdot z^{2} +4\cdot iz +1 = 0 \end{eqnarray*}$

Kann ich hier ohne weiteres die p-q formel benutzen oder die quadratische Ergänzung??
Wenn i nicht dabei wäre ginge es.

Geht es aber auch in diesem Beispiel??

Also ich habe versucht z durch (a+ib) zu ersetzen.

Dann kommt am Ende raus:

4a^2+8aib-4b^2+4ia+4ib = 0

Aber wie resultiert z jetzt daraus??

Hallo,

wieso sollte die Lösungsformel hier nicht funktionieren?

Ibn Batuta

13.11.2010, 17:11

Janni87

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RE: Komplexe Gleichung nach z auflösen
ich glaube für die komplexe quadratische Gleichung gilt folgende Formel:

$\begin{eqnarray*} z = \frac{-b+-\sqrt{b^{2} -4ac} }{2a} \end{eqnarray*}$

Dann komm ich auf das Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} -\frac{i}{2} \end{eqnarray*}$

Und die Aufgabenstellung war, Zeichne eine Skizze von z.

Aber wie kann man das Ergebnis jetzt einzeichen??

Ich weiß z = (a+bi)

13.11.2010, 17:19

Ibn Batuta

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RE: Komplexe Gleichung nach z auflösen

Zitat:

Original von Janni87
ich glaube für die komplexe quadratische Gleichung gilt folgende Formel:

$\begin{eqnarray*} z = \frac{-b+-\sqrt{b^{2} -4ac} }{2a} \end{eqnarray*}$

Hallo.

Sei $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a, b \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , dann gilt folgende Formel für $\begin{eqnarray*} n = 2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} x = \frac{-b^+_-\sqrt{b^{2} -4ac} }{2a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \frac{-4i^+_-\sqrt{(-4i)^{2} -4(-4)1} }{2\cdot(-4)} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{-4i^+_-\sqrt{-16+16}}{-8} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{-4i}{-8} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2}\cdot i \end{eqnarray*}$

Ibn Batuta

13.11.2010, 17:20

Ibn Batuta

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RE: Komplexe Gleichung nach z auflösen
Sorry, Doppelpost.

13.11.2010, 17:21

Janni87

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RE: Komplexe Gleichung nach z auflösen
Ja das habe ich auch raus:

Und wie zeichne ist das jetzt in ein Koordinatensystem ein??

Mir fehlt a und b

13.11.2010, 17:25

Ibn Batuta

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RE: Komplexe Gleichung nach z auflösen

Zitat:

Original von Janni87
Ja das habe ich auch raus:

Und wie zeichne ist das jetzt in ein Koordinatensystem ein??

Mir fehlt a und b

Hallo,

das hast du nicht. Deine Lösung ist falsch.

Jede komplexe Zahl wird als ein Punkt in der Gaußschen Zahlenebene dargestellt. Wo ist da denn dein Problem?

$\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ist der $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum. Du kannst die Lösung auch als Vektor darstellen.

Der Realteil der Lösung ist 0, der Imaginärteil ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Ibn Batuta

13.11.2010, 17:30

Janni87

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RE: Komplexe Gleichung nach z auflösen
Wie kann ich mir das aber jetzt in dieser Ebene vorstellen?? Wie kann ich den Punkt einzeichnen?? Wie muss ich vorgehen??

Also kann ich z = 0 + (1/2)i zeichnen.

13.11.2010, 17:35

Ibn Batuta

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RE: Komplexe Gleichung nach z auflösen

Zitat:

Original von Janni87
Wie kann ich mir das aber jetzt in dieser Ebene vorstellen?? Wie kann ich den Punkt einzeichnen?? Wie muss ich vorgehen??

Hallo,

das habe ich dir oben erläutert.

Ibn Batuta

13.11.2010, 17:35

Janni87

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RE: Komplexe Gleichung nach z auflösen
Also ist a = 0 und b = 1/2i

13.11.2010, 17:37

Ibn Batuta

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RE: Komplexe Gleichung nach z auflösen

Zitat:

Original von Janni87
Also ist a = 0 und b = 1/2i

Nein.

13.11.2010, 17:42

Janni87

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RE: Komplexe Gleichung nach z auflösen
Wenn nein ,dann weiß ich nicht wie ich den Punkt z = 1/2*i skizzieren soll. Das ist nämlich meine Aufgabe.

13.11.2010, 17:47

Ibn Batuta

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Deine komplexe Zahl sieht wie folgt aus:
$\begin{eqnarray*} z = (0, 0.5) \end{eqnarray*}$
Daran siehst du, daß dein $\begin{eqnarray*} z = 0+0.5\cdot i \end{eqnarray*}$ ist, also $\begin{eqnarray*} a = 0 \end{eqnarray*}$ ist und dein $\begin{eqnarray*} b=0.5 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ !

Zeichnerisch ist das ein Punkt in der Gaußschen Zahlenebene (der Punkt ist rosa markiert):

[attach]16610[/attach]

Oder eben, wenn du $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ als den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum auffasst, kannst du diesen Punkt auch als Vektor darstellen, indem du vom Ursprung aus zu diesem Punkt einen Pfeil mit Richtung zu dem Punkt hinzeichnest.

Ibn Batuta

edit: Bitte keine Links zu externen Hosts. Man kann Grafiken per Dateianhang einfügen. Dies habe ich nun für dich gemacht.
LG sulo

13.11.2010, 17:55

Janni87

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Danke sehr, jetzt hab ich das mit dem Vektor verstanden smile

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