Prismavolumen mit Vektoren

13.11.2010, 16:29

Broly

Prismavolumen mit Vektoren

Hallo,
habe folgende Aufgabe.

a) die drei Punkte A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3\\a\\5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,B = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1\\1\\2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,C = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3\\6\\-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ spannen im R³ ein Dreieck auf (a € R ).
Verschiebt man diese Dreieck durchd en Vektor V = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -\frac{2}{3}\\1\\3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ so überstreicht es ein Prisma im Raum.

So dann kann ich mir das ganze doch ungefähr so vorstellen?

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[attach]16613[/attach]

Dann ist A' doch quasi A + V ?
B' = B + V ?
C' = C + V ?

also = A' = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{7}{3}\\a+1\\8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,B' = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -\frac{5}{3}\\2\\5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,C = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -\frac{11}{3}\\7\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(i) Wie groß ist das Volumen V dieses Prismas? (Hinweis: Betrachten sie das Spatprodukt von $\begin{eqnarray*} \vec{AB},\vec{AC} und \vec V \end{eqnarray*}$ )

Das Volumen wäre dann ja die Grundfläche von A,B,C * $\begin{eqnarray*} \vec{V} \end{eqnarray*}$ oder ?

Aber was sind Spatprodukte bzw. wofür brauch ich die? oO

(ii) Bestimmten Sie a so, dass V = 0 . Was bedeutet dies geometrisch für die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{AB},\vec{AC} und \vec V \end{eqnarray*}$ .

Das V würde doch eigentlich nur 0 ergeben wenn die Punkte A,B,C um 0 verschoben werden würden und somit aufeinanderliegen würden oder`?

Grüße

13.11.2010, 23:02

mYthos

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RE: Prismavolumen mit Vektoren

Zitat:

Original von Broly
...
Aber was sind Spatprodukte bzw. wofür brauch ich die? oO
...
Grüße

Das kannst du sicher selbst herausfinden!
Es ist immer wieder erstaunlich, dass im Zeitalter des Internet auf eine entsprechende Recherche immer wieder gerne verzichtet bzw. vergessen wird.

Jedenfalls ist $\begin{eqnarray*} (\vec a \times \vec b)* \vec c \end{eqnarray*}$ das Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds (= des schiefen von Paralelogrammen begrenzten Prismas). Und so ein Ding heisst auch Spat. Das Volumen des Prismas mit dreieckiger Grundfläche und auch jenes der Pyramide leitet sich ebenfalls daraus ab.

Die Punkte A', B' und C' brauchst du aus diesem Grunde für die Volumenberechnung nicht.

(ii)

Stimmt. Aber "um 0 verschieben" ist mathematisch unkorrekt ausgedrückt. Genauer gesagt, ist um den Nullvektor in Richtung $\begin{eqnarray*} \vec v \end{eqnarray*}$ zu verschieben. Wie lautet dies nun?

mY+

14.11.2010, 16:09

Broly

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Hallo,

entschuldigung das ich nicht genug recherchiert habe. Ich werde mich bessern.

$\begin{eqnarray*} \Vec{AB}=\left( \begin {array} {c} -4 \\ 1-a \\ -3 \\ \end {array} \right), \Vec{AC}=\left( \begin {array} {c} -6 \\ 6-a \\ -7 \\ \end {array} \right) \end{eqnarray*}$

Also wenn das Volumen $\begin{eqnarray*} V= (\vec a x \vec b) * \vec c \end{eqnarray*}$ ist.
Dann rechne ich mit AB = a , AC = b und V = c
dann bekomme ich als Volumen |-430 + 8a| raus ?

Was für b bedeuten würde das a = 53,75 sein muss.

Sofern das richtig ist, was ist dann mit "Was bedeutet dies geometrisch für die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{AB},\vec{AC} und \vec V \end{eqnarray*}$ ."

14.11.2010, 16:58

Broly

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Sehe gerade die Aufgabe geht noch weiter.

Gegeben seien die Geraden:

g1 : $\begin{eqnarray*} \vec{r} = \left( \begin {array} {c} -1 \\2 \\ -3 \\ \end {array} \right) \end{eqnarray*}$ +t $\begin{eqnarray*} \left( \begin {array} {c} -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} \\ 1 \\ \end {array} \right) \end{eqnarray*}$

g2 : $\begin{eqnarray*} \vec{r} = \left( \begin {array} {c} -4 \\4 \\ 3 \\ \end {array} \right) \end{eqnarray*}$ +s $\begin{eqnarray*} \left( \begin {array} {c} -3 \\ 2 \\ 6 \\ \end {array} \right) \end{eqnarray*}$

g3 : $\begin{eqnarray*} \vec{r} = \left( \begin {array} {c} -2 \\3 \\ -1 \\ \end {array} \right) \end{eqnarray*}$ +v $\begin{eqnarray*} \left( \begin {array} {c} 2 \\ -2 \\ -4 \\ \end {array} \right) \end{eqnarray*}$

Welche Lage haben die Geraden
(i) g1 und g2 zueinander?
(ii) g2 und g3 zueinander?

also geraden sind parallel zueinander wenn sie in die selbe richtung gehen?
also das Kreuzprodukt = 0 ist ?

bei Aufgabe (i) wäre das der Fall, somit wären die Geraden parallel zueinander? Bin ich damit mit der (i) fertig?

bei (ii) ist das nicht der Fall, somit muss ich die beiden geraden gleichsetzen?
Habe dann:

I.- 4 - 3s = -2 + 2v
II. 4 + 2s= 3 - 2v
III. 3 + 6s = -1 - 4V

Nehme II.(*-3) und III.

-12 - 6s = -9 +6 v
3 + 6s = -1 -4v
v = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
dann v in I. einsetzen
macht dann s = -1

setze dann s und v in die I. noch nicht benutzte Gleichung ein:

-4 - 3(-1) = -2 + 2( $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ )
-1 = -1

somit gibts einen Schnittpunkt.

setze dann s in g2 ein:
$\begin{eqnarray*} \vec{r} = \left( \begin {array} {c} -4 \\4 \\ 3 \\ \end {array} \right) \end{eqnarray*}$ +(-1) $\begin{eqnarray*} \left( \begin {array} {c} -3 \\ 2 \\ 6 \\ \end {array} \right) \end{eqnarray*}$

das macht dann S = $\begin{eqnarray*} \left( \begin {array} {c} -1 \\2 \\ -3 \\ \end {array} \right) \end{eqnarray*}$

Grüße

14.11.2010, 23:46

mYthos

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Bleiben wir zunächst noch bei a)
Durch die Tatsache, dass der Parameter a nicht bestimmt ist, gibt es noch eine andere Möglichkeit, bei welcher das Volumen zu Null wird. Dies hatte ich am Anfang völlig übersehen, sorry.

Bei einem bestimmten Wert von a liegt nämlich der Verschiebevektor $\begin{eqnarray*} \vec v \end{eqnarray*}$ in der von $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ aufgespannten Ebene, und dabei muss nicht einmal um den Nullvektor verschoben werden. Das Volumen ist deswegen Null, weil sich dann alles in der besagten Ebene abspielt und das Prisma keine Höhe hat. Die drei Vekoren sind in diesem Fall komplanar bzw. linear abhängig. Dies stellt die geometrische Deutung dar.

Ich habe allerdings dafür einen anderen Wert für a heraus. Schreibe also, wie du a berechnet hat, damit wir das kontrollieren können.

mY+

14.11.2010, 23:58

Broly

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Ah ich hattte auch noch mal gerechnet und was anderes raus als oben.

$\begin{eqnarray*} \Vec{AB}=\left( \begin {array} {c} -4 \\ 1-a \\ -3 \\ \end {array} \right), \Vec{AC}=\left( \begin {array} {c} -6 \\ 6-a \\ -7 \\ \end {array} \right)\Vec{V}=\left( \begin {array} {c} \frac{2}{3} \\ 1 \\ 3 \\ \end {array} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V= (\vec a x \vec b) * \vec c \end{eqnarray*}$ ist.
Dann rechne ich mit AB = a , AC = b und V = c

$\begin{eqnarray*} \Vec{V}=\left( \begin {array} {c} (1-a)*(-7) - (-3)*(6-a) \\ (-3)*(-6)-(4)*(-7) \\ (-4)*(6-a)-(1-a)*(-6) \\ \end {array} \right) * \left( \begin {array} {c} \frac{2}{3} \\ 1 \\ 3 \\ \end {array} \right) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} -\frac{22}{3} - \frac{8}{3}a - 10 -54 -6a = -33 - \frac{26}{3}a \end{eqnarray*}$

Irgendwie ein komischer Wert.

bei b) müsste a dann zirka 3,81 sein damit V = 0 ist.

Grüße

15.11.2010, 01:03

mYthos

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Die erste Komponenten des Vektors v ist aber lt. Angabe negativ (-2/3)!
________

EDIT: Ich sehe gerade, du dürftest ohnehin mit -2/3 gerechnet haben.
Dann hast du aber einen anderen fatalen Fehler: WIE kommst du auf -33?

mY+

15.11.2010, 01:25

Broly

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= $\begin{eqnarray*} -\frac{22}{3} - \frac{8}{3}a - 10 -54 -6a = -33 - \frac{26}{3}a \end{eqnarray*}$

gute Frage wie ich drauf komme =/

richtig wäre

= $\begin{eqnarray*} -\frac{214}{3} - \frac {26}{3}a \end{eqnarray*}$

15.11.2010, 01:44

mYthos

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.. und daher ist $\begin{eqnarray*} a = - \frac{107} {13} \end{eqnarray*}$ , wenn das Volumen V = 0 sein soll.
Hast du den geometrischen Sachverhalt jetzt auch verstanden?

mY+

15.11.2010, 02:20

Broly

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das kriege ich für a auch raus.

Zitat:

Original von mYthos
Bleiben wir zunächst noch bei a)
Durch die Tatsache, dass der Parameter a nicht bestimmt ist, gibt es noch eine andere Möglichkeit, bei welcher das Volumen zu Null wird. Dies hatte ich am Anfang völlig übersehen, sorry.

Bei einem bestimmten Wert von a liegt nämlich der Verschiebevektor $\begin{eqnarray*} \vec v \end{eqnarray*}$ in der von $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ aufgespannten Ebene, und dabei muss nicht einmal um den Nullvektor verschoben werden. Das Volumen ist deswegen Null, weil sich dann alles in der besagten Ebene abspielt und das Prisma keine Höhe hat. Die drei Vekoren sind in diesem Fall komplanar bzw. linear abhängig. Dies stellt die geometrische Deutung dar.

Wie bestimmt ich diesen bestimmt a Wert bzw wäre das jetzt der a Wert?

(ii) Bestimmten Sie a so, dass V = 0 . Was bedeutet dies geometrisch für die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{AB},\vec{AC} und \vec V \end{eqnarray*}$ .
Das verstehe ich immer noch nicht? Kann höchstens prüfen ob sie LA sind oder nicht?

(a x b ) * c = 0 trifft hier definitiv nicht zu bei mir(wenn ich a 107/13 einsetze).
Also sind die Vektoren Linear Unabhängig? Ist das die ganze Antwort?

15.11.2010, 21:39

mYthos

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Zitat:

Original von Broly
...
Wie bestimmt ich diesen bestimmt a Wert bzw wäre das jetzt der a Wert?
...

Ja, dieser a-Wert wurde ja eben bestimmt!

Zitat:

Original von Broly
...
(a x b ) * c = 0 trifft hier definitiv nicht zu bei mir(wenn ich a 107/13 einsetze).
Also sind die Vektoren Linear Unabhängig? Ist das die ganze Antwort?

Nein!
Dann hast du beim Rechnen einen Fehler gemacht. Denn für dieses a MUSS doch dieses Produkt Null werden, das war doch die Forderung: Bestimme a so, dass das Volumen = 0 ist und daher muss dieses Spatprodukt eben Null werden! In diesem Falle sind auch die drei Vektoren definitiv linear abhängig! Das folgt daraus, dass der Wert der aus den Komponenten gebildeten dreireihigen Determinante, welche identisch mit dem Spatprodukt ist (das kann man gut zeigen!), auch Null ist.

mY+

18.11.2010, 17:58

Broly

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Okay, hab ich mich wohl verrechnet. Vielen Dank mYthos.

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