Zahlentheorie: Probleme mit Aufgaben zur Eulerschen Funktion

13.11.2010, 16:34	quenya86	Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlentheorie: Probleme mit Aufgaben zur Eulerschen Funktion Hallo, ich war lange krank und komme nun leider mit ein paar Aufgaben zur Eulerschen Funktion gar nicht klar. Ich grübele schon lange drüber... 1.) Es soll bewiesen werden, dass $\begin{eqnarray} m^{kgV(\varphi(a),\varphi(b))} \equiv 1 (mod n) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a, b, m, n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ mit n = ab gilt, wenn sowohl a und b als auch n und m teilerfremd teilerfremd sind. Diese Aufgabe ist mein Hauptproblem, denn da komme ich auf gar keinen sinnvollen Gedanken. Bei den anderen zweien habe ich zumindest schon ein paar Denkansätze. Eine Hilfe bei der 1. Aufgabe wäre also wesentlich wichtiger. 2.) Es soll gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray} \varphi(mn) = \frac{\varphi(n)\varphi(m)g}{\varphi(g)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g := ggT(m,n) \end{eqnarray}$ für beliebige natürliche Zahlen m, n gilt. 3.) Die folgende Identität für alle natürlichen Zahlen n soll gezeigt werden: $\begin{eqnarray} n = \sum\limits_{d\|n} \varphi(d) \end{eqnarray}$ Wäre sehr schön, wenn mir jemand helfen könnte. Danke schonmal!
13.11.2010, 18:02	quenya86	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zahlentheorie: Probleme mit Aufgaben zur Eulerschen Funktion Ein paar meiner Gedanken zu den Aufgaben: 1.) Da a und b teilerfremd sind gilt ja $\begin{eqnarray} \varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b) \end{eqnarray}$ und außerdem gilt nach dem Satz von Euler $\begin{eqnarray} m^{\varphi(n)} \equiv 1 (mod n) \end{eqnarray}$ n ist ja laut Voraussetzung gleich ab. Leider lässt sich dies jedoch nicht direkt so als Beweis nutzen, da ja in der Formel im Exponenten von m das kgV steht $\begin{eqnarray} \varphi(ab) \end{eqnarray}$ ist jedoch ein Vielfaches des kgV's. Aber irgendwo da muss es wohl einen Zusammenhang geben, den ich übersehe / nicht finde. 2.) Für teilerfremde Zahlen gilt ja $\begin{eqnarray} \varphi(mn) = \varphi(m)\varphi(n) \end{eqnarray}$ und g ist ja der größte gemeinsame Teiler von m und n und somit ein Produkt aller kleineren gemeinsamen Teiler (falls es welche gibt), somit müsste sich ja irgendwie durch das Dazumultiplizieren von g und das Dividieren durch die Summe der Teilerfremden bis g die Auswirkung der Nicht-Teilerfremdheit von m und n aufheben. Sollten m und n teilerfremd sein, gilt das ja sowieso, da ja dann der ggT 1 ist. Irgendwie müsste sich das nutzen lassen 3.) Ein paar auch für die anderen Aufgaben hilfreiche Sachen findet man in diesem Buch: http://books.google.de/books?id=R3SzmBJB...epage&q&f=false Da steht auch der für die dritte Aufgabe nötige Beweis drin, doch ich verstehe den da leider nicht

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