Relationen, Zeigen ob Äquivalenzrelation ist

13.11.2010, 17:37

AngelsEnd

Relationen, Zeigen ob Äquivalenzrelation ist

Hallo liebe leute.

Ich sitze hier gerade vor einem Problem und komme nicht mehr weiter.

Wir haben nun das Thema Relationen, was ansich schon für mich schwer zu verstehen ist.

Sitze nun vor einer Aufgabe die wie folgt lautet:

Seien X, Y nicht-leere Mengen und sei f: X -> Y eine Abbildung

Definiere R={(x1,x2)} element X x X : f: f(x1) = f(x2)
Zeigen sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist.

gut, in der vorlesung wurde und strikt gesagt wir sollen einfach nach definition gehen.
gut, fangen wir mal an xD
Äquivalenzrelation ist dann erfüllt, wenn alle eigenschaften davon erfüllt sind, also wenn es reflexiv symmetrisch und transitiv ist.

Sprich um zu zeigen ob es eine Äquivalenzrelation ist, müssen wir alle 3 eigenschaften beweisen.

Da hackt es schon bei der reflexivität ^^
diese ist ja so definiert das für alle x element M gilt x <= x
Gut, und wie sage ich oder zeige ich nun das für das da oben
R={(x1,x2)} element X x X : f: f(x1) = f(x2)
das folgende gilt x <= x
Kann ich da einfach sagen da für x=x immer f(x)=f(x) gilt?

13.11.2010, 17:49

Pavel

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RE: Relationen, Zeigen ob Äquivalenzrelation ist

Zitat:

Seien X, Y nicht-leere Mengen und sei f: X -> Y eine Abbildung

Definiere R={(x1,x2)} element X x X : f: f(x1) = f(x2)
Zeigen sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist.

$\begin{eqnarray*} R=\{(x_1,x_2) \in X \times X | f(x_1) = f(x_2)\} \end{eqnarray*}$

Es kann sehr helfen, sich einmal in Worten klar zu machen, was die Relation eigentlich bedeutet. Also wann genau stehen denn zwei Elemente von X zueinander in Relation?
Beantworte dir am besten ersteinmal diese Frage.

Deine Idee, Reflexivität, Symmetrie und Transitivität nachzuweisen, ist völlig richtig.
Nun hapert es aber offensichtlich an den Definitionen.

Zitat:

Da hackt es schon bei der reflexivität ^^
diese ist ja so definiert das für alle x element M gilt x <= x

Dies ist nämlich schlichtweg falsch. Schau die Definitionen (in deinem Skript oder bei Wikipedia) noch einmal genau nach und poste sie am besten hier!

14.11.2010, 11:20

AngelsEnd

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ok jetzt versteh ich gerade nichts mehr ^^ wieso ist das falsch was ich geschrieben habe? reflexiv ist, wenn jedes element in relation zu sich selber steht?

und zu der frage wann 2 elemente von x zueinander in relation stehen würde ich sagen:

Wenn diese 2 elemente eine Teilmenge des Kartesischen Produktes X x X sind also wenn (x1,x2) teilmenge von X x X ?

14.11.2010, 12:00

Abakus

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Hallo!

Zitat:

Original von AngelsEnd
ok jetzt versteh ich gerade nichts mehr ^^ wieso ist das falsch was ich geschrieben habe? reflexiv ist, wenn jedes element in relation zu sich selber steht?

Falsch ist es, weil du von M schreibst (das gibts hier nicht), und weil du als Relation <= nimmst (gibts in der Aufgabe auch nicht).

Ansonsten: eine Relation ist reflexiv, wenn sie die Diagonale enthält bzw. wenn jedes Element der Grundmenge in Relation zu sich selbst steht, ja.

Zitat:

und zu der frage wann 2 elemente von x zueinander in relation stehen würde ich sagen:

Wenn diese 2 elemente eine Teilmenge des Kartesischen Produktes X x X sind also wenn (x1,x2) teilmenge von X x X ?

Elemente sind hier nicht Teilmenge einer Menge, es ist einfach $\begin{eqnarray*} (x_1, x_2) \in X~ \times~ X \end{eqnarray*}$ .

Mit der Relation R hat das noch nichts zu tun.

Schau dir insgesamt die Terminologie an, wann ist etwas Element, Teilmenge, Relation, Funktion usw. und wie drückst du sowas exakt aus. Derzeit bist du nicht zu verstehen.

Die Relation R ist eine Teilmenge von X x X und enthält als Elemente 2-Tupel mit einer bestimmten Eigenschaft, nämlich der, das ihre Komponenten von der Funktion f auf denselben Funktionswert abgebildet werden.

Reflexiv bedeutet nun, dass $\begin{eqnarray*} (x, x) \in R \end{eqnarray*}$ gilt für alle relevanten x. Ist das der Fall?

Grüße Abakus smile

14.11.2010, 13:55

AngelsEnd

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Ok, also ich sage jetzt ja, und zwar weil es sich hier doch um eine Gleichheitsrelationhandelt oder?

weil
$\begin{eqnarray*} (x,x) \in R \end{eqnarray*}$
was man sich ja z.b. so vorstellen kann (1,1),(2,2) oder (3,3) und das bedeutet es ist eine Gleichheitsrelation.
Außerdem ist es ja dann reflexive, da z.b. die 1 steht in relation zu der 1 (sich selbst) somit steht das x in reltation zu x (auch zu sich selbst)

also reflexive.
Oder drücke ich mich wieder falsch aus?

14.11.2010, 15:59

AngelsEnd

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Sry für den doppelpost.

Aber ich glaub für das weitere verständnis muss ich wirklich erst mal verstehen, was genau mit relation gemeint ist.

Bislang verstehe ich nur, das eine relation eine beziehung zwischen dingen bedeudet.
Wenn nichts weiter beshrieben steht, geht man immer von einer zweistelligen Relation aus. Also die beziehung zwischen"zwei" dingen.

Nun kommt ein satz laut Wiki:
Eine binäre Relation R ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts zweier Mengen A und B
Dazu kommt folgende Definition:
$\begin{eqnarray*} R \subseteq A x B \end{eqnarray*}$ mit A x B := {(a,b)| $\begin{eqnarray*} a\in A) \wedge (b\in B) \end{eqnarray*}$ }
Wenn ich das versuche in worten zu sagen, bedeudet das ja:
R ist teilmenge von A x B wobei A x B beschrieben wird mit (a,b) für das gilt a ist in A und b ist in B oder?

Würde also bedeuten, hätte ich Menge A={1,2} und Menge B={2,3}
und hätte ich dann das kartesische Produkt A x B ={(1,2),(1,3),(2,2),(2,3)}
Währe jetzt eine Relation R={(1,2),(2,2)}

Habe ich soweit alles richtig verstanden?

14.11.2010, 17:39

Abakus

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Zitat:

Original von AngelsEnd
Ok, also ich sage jetzt ja, und zwar weil es sich hier doch um eine Gleichheitsrelationhandelt oder?

weil
$\begin{eqnarray*} (x,x) \in R \end{eqnarray*}$
was man sich ja z.b. so vorstellen kann (1,1),(2,2) oder (3,3) und das bedeutet es ist eine Gleichheitsrelation.

Korrekt wäre zu sagen, dass R die Gleichheitsrelation umfasst; denn R kann ja noch andere Elemente enthalten. Kannst du das noch begründen?

Zitat:

Wenn ich das versuche in worten zu sagen, bedeudet das ja: R ist teilmenge von A x B wobei A x B beschrieben wird mit (a,b) für das gilt a ist in A und b ist in B oder?

Ja, eine Relation ist einfach eine Menge (ggf. mit bestimmten Eigenschaften) zunächst.

Grüße Abakus smile

14.11.2010, 18:17

AngelsEnd

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bei der Begründung tu ich mich jetzt schwer.

Wir haben ja gesagt (x1, x2) element von X x X

und (x,x) element R
Und eine Gleichheitsrelation wird beschrieben mit x = x.
das bedeudet, x1 ist immer x2.
Andererseits, wenn X z.b. = {1,2,3} ist, wäre X x X = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}
Damit R nun eine Gleichheitsrelation wäre dürfte sie nur (1,1),(2,2) und (3,3) enthalten richtig? was sie doch aber auch tut da sie mit der eigenschat f(x1) = f(x2) veschrieben wird was auf x1 = x2 schließen lässt womit wir sagen können das es eine gleichheitsrelation ist? xD

14.11.2010, 22:36

Abakus

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Zitat:

Original von AngelsEnd
Damit R nun eine Gleichheitsrelation wäre dürfte sie nur (1,1),(2,2) und (3,3) enthalten richtig? was sie doch aber auch tut da sie mit der eigenschat f(x1) = f(x2) veschrieben wird was auf x1 = x2 schließen lässt womit wir sagen können das es eine gleichheitsrelation ist? xD

Es gilt sicher $\begin{eqnarray*} f(x) = f(x) \end{eqnarray*}$ , und damit $\begin{eqnarray*} (x, x) \in R \end{eqnarray*}$ . Damit enthält $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ die Gleichheitsrelation bzw. ist reflexiv, soweit ok. Natürlich könnte nun noch $\begin{eqnarray*} f(x_1) = f(x_2) \end{eqnarray*}$ für verschiedene Argumente gelten, denn das $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ braucht nicht injektiv zu sein.

Grüße Abakus smile

20.11.2010, 19:59

AngelsEnd

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ok alles klar, ich denke so laaangsam verstehe ich ^^

gruß

Angel

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