Distributivitätsgesetz im Kommutativen Ring

13.11.2010, 18:05	Stephan1989	Auf diesen Beitrag antworten »
Distributivitätsgesetz im Kommutativen Ring Meine Frage: Hallo, habe folgende Aufgabe zu lösen: Wir definieren auf der Menge $\begin{eqnarray} R:= \left\{ {(a,b) \| a \in Q \ und \ b \in Q}\right\} \end{eqnarray}$ Die Addition $\begin{eqnarray} (a,b) \oplus (c,d) := (a+c,b+d) \end{eqnarray}$ Die Multiplikation $\begin{eqnarray} (a,b) \otimes (c,d) := (ac - bd,ad + bc) \end{eqnarray}$ für die beliebigen Elemente $\begin{eqnarray} (a,c),(c,d) \in R \end{eqnarray}$ . Dann ist R mit der so definierten Addition und Multiplikation ein kommutativer Ring. Beweisen sie das Distributivitätsgesetz Meine Ideen: Das Distributititätsgesetz wäre ja $\begin{eqnarray} a \otimes (b \oplus c) = (a \otimes b) \oplus (a \otimes c) \end{eqnarray}$ Also für die Aufgabe würde das dann so aussehen: (linke Seite der Gleichung) $\begin{eqnarray} (a,b) \otimes ((c,d) \oplus (e,f)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = (a,b) \otimes (c+e,d+f) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = ((a(c+e)-b(d+f)),(a(d+f)+b(c+e))) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = (ac + ae - bd + bf , ad+af + bc + be) \end{eqnarray}$ Und für die Rechte Seite der Gleichung: $\begin{eqnarray} ((a,b) \otimes (c,d)) \oplus ((a,b) \otimes (e,f)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(ac-bd,ad+bc) \oplus (ae-bf,af+be) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(ac-bd+ae-bf,ad+bc+af+be) \end{eqnarray*}$ Aber das wäre ja nicht das Gleiche, weil im linken Teil +bf und im rechten -bf ist. Würde das jetzt heissen, das es kein Ring ist oder habe ich das falsch gemacht? Wäre dankbar für Antworten Mfg Stephan
13.11.2010, 18:26	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Distributivgesetz für Anfänger: $\begin{eqnarray} -b(d+f)=-bd-bf \end{eqnarray}$
13.11.2010, 18:37	Stephan1989	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, ups okay das war wirklich ein peinlicher fehler Danke für die schnelle Antwort! Mfg Stephan

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