Lineares Gleichungssystem -> nur triviale Lösung

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Dunkit Auf diesen Beitrag antworten »
Lineares Gleichungssystem -> nur triviale Lösung
hey!
habe da ein Problem mit ner Aufgabe... zum besseren Verständnis schreibe ich sie hier erstmal hin Big Laugh

Zitat:

Seien a1,...an, b1,...,bn reelle Zahlen. es gelte für alle i. Zeigen Sie, dass das Gleichungssystem




...

nur die triviale Lösung besitzt.


Gut, den Aufbau des Gleichungssystems habe ich verstanden. Aber das einzige, was ich über Gleichungssysteme im zusammenhang mit trivialen Lösungen wieß ist, dass ein homogenes Gleichungssystem eine Lösung neben der trivialen hat, wenn für die Matrix gilt, dass m < n.
Dabei ist A natürlich die Matrix, die das Gleichungssystem darstellt (ihr wisst was ich meine). Aber diese Erkenntnis hilft mir doch hier nicht wirklich weiter, oder? Wäre über einen Ansatz sehr dankbar...
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Probiers mal mit dem Gaußalgorithmus, der klappt da sicher. Obs schön wird ist eine andere Frage.
Dunkit Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! also meinst du einfach das gleichungssystem lösen und dann (hoffentlich) sehen, dass nur die triviale Lösung rauskommt?

Oder hat noch jemand eine andere idee?


/EDIT: Hm, aber die ganzen Pümktchen bleiben ja die ganzte Zeit erhalten. Das sieht aus als könnte das mit dem Gauß sehr unübersichtlich werden, oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Geschickterweise machst du folgende Umformungen:
Subtrahiere von der 2. Zeile das a_1-fache der 1. Zeile.
Subtrahiere von der 3. Zeile das a_2-fache der 1. Zeile.
usw.
Dunkit Auf diesen Beitrag antworten »

gut, dann bekomme ich doch sowas wie




...


oder?

und wie zeige ich dann, dass es hier nur die triviale lösung gibt?


/EDIT: muss leider wieder zur schule -.-
Danke auf jeden Fall schonmal für eure hilfe! Ich guck heute nachmittag nochmal hier rein!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Was ergibt sich denn nun aus der 2. Gleichung? Was dann aus der 3. Gleichung.

Alternative:
Schiebe die 1. Gleichung nach hinten und bilde die Determinante der zugehörigen Matrix.
 
 
Dunkit Auf diesen Beitrag antworten »

aaaahhh ok, du meinst aus der 1. gleichung würde sich ergeben a_1 = b_1, was laut aufgabenstellung nicht sein kann, richtig?
Dasselbe dann für alle weiteren a und b.

Danke =)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja. Aus der Gleichung

erhält man x_1 = 0 wegen a_1 <> b_1
usw.
Dunkit Auf diesen Beitrag antworten »

das meinte ich ;-)

Danke nochmal!
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