Integral/Stammfkt von 2 hoch x

14.11.2006, 21:22

integralfuzzi

Integral/Stammfkt von 2 hoch x

Guten Abend,

ich habe bis jetzt noch nicht Integralrechnung in der Schule gemacht, brauche es aber für eine Aufgabe. Deshalb frage ich mich was der Integral von einer Gleichung a^x ist. Bzw was ist die Stammfunktion von a^x?

Vielen Dank!

14.11.2006, 21:30

Calvin

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$\begin{eqnarray*} a^x=e^{\ln(a^x)}=e^{x\ln(a)} \end{eqnarray*}$

Hilft dir das schon weiter?

14.11.2006, 21:31

mYthos

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Setze für

$\begin{eqnarray*} a = e^{ln(a)} \end{eqnarray*}$

und verwende

$\begin{eqnarray*} \int~e^x~dx = e^x \end{eqnarray*}$

Allerdings muss dann für

$\begin{eqnarray*} \int~e^{xln(a)}~dx \end{eqnarray*}$ die Substitution z = x . ln(a) mit dz = dx durchgeführt werden.

In der Integraltabelle steht (wenn du nachsehen darfst)

$\begin{eqnarray*} \int~a^x~dx = \frac{a^x}{ln(a)} \end{eqnarray*}$

mY+

14.11.2006, 21:37

integralfuzzi

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Ok verstehen tu ich das leider noch nicht wirklich.
Mein Problem ist, dass ich zwar den Begriff schon gehört habe, aber noch nie in der Mathematik verwenden musste. Jetzt möchte ich aber den Flächeninhalt eine exponentialenen Funktion in einem bestimmten Bereich 0 - 10 zb. brechnen.
Die exp. Funktion hat die Form y = b * a^x.
Also ich weiß eigentlich nicht mal was bei der Integralrechnung geschieht und nach welchem Muster.
Danke!!!

14.11.2006, 21:42

marci_

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ja also b ist meistens ein faktor, zb:10, der beim integrieren "keine rolle spielt"

bsp: $\begin{eqnarray*} f(x)=5^x=e^{ln(5^x)} \end{eqnarray*}$

24.07.2017, 03:48

aimtec

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richtige antwort!!
Tut mir leid dass ich hier nach 11 Jahren antworten muss, aber dies war der erste treffer bei google

und die infos hier sind leider falsch oder falsch/unverständlich erklärt
außerdem ist e^x bzw ln unnötig

das Integral/Stammfkt ist das gegenteil einer ableitung

bei
$\begin{eqnarray*} f(x)=a^x \end{eqnarray*}$

ist die stammfunktion
$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{a^{x+1}}{{a-1}} \end{eqnarray*}$

wie berechnet man ein integral?
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx = F(b)-F(a) \end{eqnarray*}$
Wichtig man sollte den $\begin{eqnarray*} -F(a) \end{eqnarray*}$ teil nicht vergessen

in diesem fall, bei $\begin{eqnarray*} 2^x \end{eqnarray*}$ , ist der Divisor $\begin{eqnarray*} a-1 \end{eqnarray*}$ zufälligerweise 1
hier ein rechen beispiel:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{3} \! f(x) \, dx = F(3)-F(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(3)=2^{3+1}=16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(0)=2^{0+1}=2 \end{eqnarray*}$

heißt die fläche von 0 bis 3 bei $\begin{eqnarray*} 2^x \end{eqnarray*}$ ist 14
wenn man manuell nachrechnet $\begin{eqnarray*} 2^1+2^2+2^3=14 \end{eqnarray*}$ und somit stimmt das ergebnis

ein weiteres und anspruchvolleres beispiel:
Herr Meier zahlt jedes Jahr 1000 Euro auf sein konto ein und bekommt 5% zinsen wieviel geld hat er nach 20 Jahren?

die funktion für den jahreszins
$\begin{eqnarray*} f(x)=1000 * 1,05^x \end{eqnarray*}$

die stammfunktion
$\begin{eqnarray*} F(x)=1000 * \frac{1,05^{x+1}}{1,05-1} \end{eqnarray*}$

das integral
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{20} \! f(x) \, dx = F(20)-F(0) \end{eqnarray*}$

als ergebnis bekommen wir dann
$\begin{eqnarray*} F(20)-F(0)=55719,25-21000=34719,25 \end{eqnarray*}$ Euro

Antwort:
Herr Meier hat nach 20 jahren 34719,25 Euro auf seinem konto,
davon waren 20000 eingezahlt und 14719,25 kamen durch zinsen hinzu.

jahr 1 : 1000*1,05=1050
jahr 2 : 2050*1,05=2152,5
jahr 3 : 3152,5*1,05=3.....
.....................................
jahr 20 : 33065,95*1,05=34719,25

24.07.2017, 04:20

aimtec

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RE: richtige antwort!!
kleiner nachtrag
bei $\begin{eqnarray*} a = 1 \end{eqnarray*}$ hat man natürlich eine null division
aber wenn man bedenkt, dass
$\begin{eqnarray*} f(x)=1^x=1 \end{eqnarray*}$

ist, da 1 hoch irgendwas immer 1 ist

dann ist die stammfuntkion von $\begin{eqnarray*} f(x)=1^x \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} f(x)=1 \end{eqnarray*}$ natürlich
$\begin{eqnarray*} F(x)=x \end{eqnarray*}$

24.07.2017, 07:59

aimte

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RE: richtige antwort!!
sorry kleiner fehlgriff
die formel ist nicht die stammfunktion/integral sondern eine art summenformel

dachte es wäre das integral weil es die von mir erwarteten werte ausgespuckt hat
bin da etwas durcheinander gekommen weil man zb mit dem integral von x+1 auch summieren kann

aber vielleicht verirrt sich ja noch jemand und findet dann die passende formel

24.07.2017, 08:48

klarsoweit

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RE: richtige antwort!!

Zitat:

Original von aimtec
bei
$\begin{eqnarray*} f(x)=a^x \end{eqnarray*}$

ist die stammfunktion
$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{a^{x+1}}{{a-1}} \end{eqnarray*}$

Das ist totaler Humbug. Das sieht man schon am Beispiel der e-Funktion $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ . Wenn man mal die Integrationskonstante wegläßt, ist die e-Funktion ihre eigene Stammfunktion, aber nicht das, was du dir da aus den Fingern gesogen hast. Mag sein, daß du das mit deinem Beitrag von 7:59 Uhr korrigieren wolltest. Aber ich drücke es nochmal deutlich aus, bevor da Mißverständnisse aufkommen.

Zitat:

Original von aimtec
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{3} \! f(x) \, dx = F(3)-F(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(3)=2^{3+1}=16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(0)=2^{0+1}=2 \end{eqnarray*}$

heißt die fläche von 0 bis 3 bei $\begin{eqnarray*} 2^x \end{eqnarray*}$ ist 14
wenn man manuell nachrechnet $\begin{eqnarray*} 2^1+2^2+2^3=14 \end{eqnarray*}$ und somit stimmt das ergebnis

Auch das ist Humbug. $\begin{eqnarray*} 2^1+2^2+2^3=14 \end{eqnarray*}$ ist allenfalls eine Obersumme zu $\begin{eqnarray*} f(x) = 2^x \end{eqnarray*}$ mit Schrittweite h=1, aber eben nicht das Integral. Für die Summation von Potenzen mit gleicher Basis ist die geometrische Reihe zuständig: $\begin{eqnarray*} q^1 + q^2 + ... + q^n = \frac{q^{n+1} - q}{q-1} \end{eqnarray*}$ . Das hat eine gewisse Verwandtschaft zu deiner "Integralformel", ist aber was völlig anderes.

Zitat:

Original von aimtec
Tut mir leid dass ich hier nach 11 Jahren antworten muss, aber dies war der erste treffer bei google

Wonach hast du denn gesucht? verwirrt

24.07.2017, 09:29

aimte

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ich hatte nach stammfuntkion von 2 hoch x gesucht bei google

ich bin durcheinander gekommen weil ich ürsprunglich für a=1.001 hatte und da ist ln(1.001) fast das selbe wie 1.001 - 1 ,deshalb hatte ich erst die richtigen werte und alles hat funktioniert

aber bei größerem a hat a-1 besser gepasst als ln(a) und das hat mich durcheinander gebracht

ich wollte werte von a hoch 0 bis a hoch x addieren, also:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{x=1}^{n} a^x=a^1+a^2...+a^n=\frac {a^{n+1}}{a-1} \end{eqnarray*}$

aber bei zahlen sehr nah an 1 gibt das integral dieselben werte mit nur sehr geringem fehler, deshalb gab es die verwirrung

ich hab dann vorhin noch weitergesucht bis ich dann endlich gesehen hab, dass es summenformel heißt und nicht integral/stammfunktion

aber naja aus fehlern lernt man

24.07.2017, 09:40

klarsoweit

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Zitat:

Original von aimte
ich wollte werte von a hoch 0 bis a hoch x addieren, also:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{x=1}^{n} a^x=a^1+a^2...+a^n=\frac {a^{n+1}}{a-1} \end{eqnarray*}$

Ein bißchen unbelehrbar bist du aber schon. Teste das doch mal für a=2 und n=1.
Wie ich oben schon erläutert habe, lautet die korrekte geometrische Summenformel so:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{x=1}^{n} a^x = a^1+a^2...+a^n = \frac {a^{n+1}-a}{a-1} \end{eqnarray*}$

oder auch:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{x=0}^{n} a^x = 1 + a^1+a^2...+a^n = \frac {a^{n+1}-1}{a-1} \end{eqnarray*}$

24.07.2017, 10:45

aimte

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stimmt da hatte ich jetzt nicht dran gedacht
wie gesagt ich hatte es mit dem integral verwechselt somit immer F(b)-F(a) gerechnet nur jetzt in der summenformel das -F(a) vergessen
immer diese details

ich hab das untere limit über die funktion abgezogen
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac {a^{x+1}}{a-1} \end{eqnarray*}$

und dann

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{x<n}^{n} a^x=f(n)-f(x-1)=\frac {a^{n+1}}{a-1} - \frac {a^{(x-1)+1}}{a-1} \end{eqnarray*}$

dadurch ist dann das untere limit variabel

24.07.2017, 12:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von aimte
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{x<n}^{n} a^x=f(n)-f(x-1)=\frac {a^{n+1}}{a-1} - \frac {a^{(x-1)+1}}{a-1} \end{eqnarray*}$

Das ist in der Notation einfach nur Unsinn. unglücklich

$\begin{align*} x \end{align*}$ ist links bloßer Summationsindex, der hat in der Endformel rechts nichts, aber auch gar nichts zu suchen!

Was du vielleicht meinst ist $\begin{align*} \sum_{x=m}^n a^x = \frac{a^{n+1}}{a-1} - \frac{a^{(m-1)+1}}{a-1} \end{align*}$ , das ist für $\begin{align*} a\neq 1 \end{align*}$ sowie ganze Zahlen $\begin{align*} m,n \end{align*}$ mit $\begin{align*} m\leq n \end{align*}$ richtig.

24.07.2017, 14:04

mYthos

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RE: richtige antwort!!

Zitat:

Original von aimtec
...
und die infos hier sind leider falsch oder falsch/unverständlich erklärt
außerdem ist e^x bzw ln unnötig
...

Geht's noch? Eine Richtigstellung dieser unqualifizierten Äußerungen würde dir nicht schlecht anstehen.

mY+

24.07.2017, 14:49

aimte

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ich habs richtig gestellt, leider darf man hier nicht editieren, was fürn unsinn
eigentlich können alle neuen beiträge hier gelöscht werden

da ich zuerst nur kleine % multiplikatoren verwendet hab, also 1,001 verwendet hab, hat mir das integral diesselben werte geliefert wie die geometrische summenformel, ich hab auch mit f(endwert) - f(startwert) gerechnet, was auch an das integral erinnert und als ich dann bei größerem a festgestellt hab das a-1 bessere werte geliefert hat wie ln(a), was jetzt natürlich klar wird warum,

so entstand dieses missverständnis, weil ich nicht genau wusste wonach ich suche, hat sich dann aber rausgestellt das ich die geometrische summenformel brauche und nicht das integral

24.07.2017, 15:02

mYthos

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Gut, alles klar, ist gegessen. Kann im Eifer des Gefechtes schon mal passieren .. Big Laugh

mY+

24.07.2017, 16:11

Guppi12

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Zitat:

leider darf man hier nicht editieren, was fürn unsinn

Du bist witzig. Du schreibst hier als Gastuser, also ohne dich angemeldet zu haben und wunderst dich, dass du nicht editieren kannst? Woher soll denn sichergestellt sein, dass nicht jemand anderes deinen Beitrag editiert. Schließlich ist eine Authentifizierung nicht möglich. Melde dich an, dann kannst du deine Beiträge auch editieren.

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