Konstruktion einer diff.baren Funktion mit Bedingungen

13.11.2010, 20:57

Huy

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Konstruktion einer diff.baren Funktion mit Bedingungen

Zitat:

Konstruiere eine differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray*} g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g'(0) = 1 \end{eqnarray*}$ , welche in keinem offenen Intervall um 0 umkehrbar ist.

Differenzierbarkeit und g'(0) = 1 sind ja relativ einfache Bedingungen. Was mich plagt, ist die Nicht-Umkehrbarkeit um 0. Ich habe echt keine Ahnung, wie ich das gezielt erreichen kann. Wenn ich das richtig verstanden habe, ist eine Funktion nicht umkehrbar, (genau dann?) wenn sie nicht injektiv ist. Wie soll ich mir das um einen Punkt vorstellen? Also graphisch?

MfG

13.11.2010, 22:37

Cugu

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Man kann doch $\begin{eqnarray*} \tilde f(x)=x^2\cdot \sin \left(\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ fortsetzen, so dass die resultierende Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist.
Die Bedingung $\begin{eqnarray*} g'(0) = 1 \end{eqnarray*}$ erhält man doch einfach durch Addieren von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

edit:
Überprüf mal $\begin{eqnarray*} 2\cdot f(x) + x \end{eqnarray*}$ auf Injektivität in einer Nullumgebung.

13.11.2010, 22:58

gonnabphd

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Hi, Cugu.

Das sollte glaube ich klappen. Ich habe die gleiche Idee zwischenzeitlich verworfen, da die Nicht-Injektivität der Funktion nicht so wirklich offensichtlich ist (und ich mich auf einen Plot verlassen habe).

Ich schreib' dir mal meine Argumentation per PN.

Gruss Wink

Wink

13.11.2010, 23:20

Huy

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@Cugu: Ich verstehe noch nicht so ganz. Hat die Tilde über dem f irgendeine Bedeutung? Wie schon gesagt, ist die Bedingung g'(0) = 1 nicht das Problem, sondern die Nicht-Umkehrbarkeit, da ich mit diesem Begriff noch nie zu tun hatte. Was bedeutet "um 0 nicht umkehrbar"?

MfG

13.11.2010, 23:38

Cugu

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Die Tilde ist nur formaler Natur, da der Definitionsbereich die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ nicht enthält und folglich ein anderer ist. Es soll
$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} \tilde f(x) & \text{für } x\neq 0\\ 0 & \text{für } x=0 \end{cases} \end{eqnarray*}$
sein.

Im Allgemeinen ist eine Funktion genau dann umkehrbar, wenn sie bijektiv ist. Hier ist anscheinend gefordert, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ nicht lokal umkehrbar ist.
Das heißt, es existieren keine Umgebungen $\begin{eqnarray*} U\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} g(0) \end{eqnarray*}$ , sodass die Einschränkung $\begin{eqnarray*} g:U\to V \end{eqnarray*}$ bijektiv ist.

--------

Zitat:

Wie schon gesagt, ist die Bedingung g'(0) = 1 nicht das Problem

Doch, das ist das (fast) größte Problem! Damit scheiden nämlich stetig differenzierbare Funktionen aus, denn die müssten in einer Nullumgebung eine positive Ableitung haben und dort folglich injektiv sein!

13.11.2010, 23:49

gonnabphd

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Hey Huy,

Du bist von der ETH, oder? Hattet ihr schon die Regel von l'Hospital? (Das hat nichts mit dieser Aufgabe zu tun)

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14.11.2010, 09:39

Huy

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@gonnabphd: Yep, ich studiere an der ETH. Die Regel von l'Hospital hatte ich im Gymnasium schon, in der Vorlesung aber noch nicht.
@Cugu: Ok, was kriege ich denn nun, wenn ich f(x) ableite? Muss ich da wieder eine Fallunterscheidung machen? Weil $\begin{eqnarray*} \tilde{f}'(x) \end{eqnarray*}$ enthält ja immer noch die Brüche, wo die 0 nicht erlaubt ist...

MfG

14.11.2010, 09:59

gonnabphd

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Zitat:

Ok, was kriege ich denn nun, wenn ich f(x) ableite? Muss ich da wieder eine Fallunterscheidung machen? Weil $\begin{eqnarray*} \tilde{f}'(x) \end{eqnarray*}$ enthält ja immer noch die Brüche, wo die 0 nicht erlaubt ist...

Ja, bei Null musst du speziell ableiten. Aber wenn du die Teilaufgabe a) verwendest, hast du nicht mehr viel zu tun, da die Ableitung linear ist.

$\begin{eqnarray*} (h(x) + k(x))' = h'(x) + k'(x) \end{eqnarray*}$

14.11.2010, 10:07

Huy

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Vielleicht bin ich gerade blind oder das ist so trivial, dass ich es nicht sehe. Was möchtest du mir mit deiner Gleichung sagen? Erfüllt folgende Funktion alle gewünschten Eigenschaften?

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} x^2 \sin(x^{-1}) & \text{für } x\neq 0\\ x & \text{für } x=0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Das ist ja für f(0) = 0 (und in Teilaufgabe 5a wurde bereits Diffbarkeit und f'(0) unstetig bewiesen), und wenn man das ableitet, kriegt man für f'(0) = 1.

MfG

14.11.2010, 10:11

gonnabphd

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Cugu hat den Tipp gegeben, $\begin{eqnarray*} g(x) = 2\cdot f(x) + x \end{eqnarray*}$ anzuschauen.

Mein "Tipp" war also einfach $\begin{eqnarray*} g'(x) = 2 f'(x) + 1 \end{eqnarray*}$ . Und da du $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ bereits kennst, weisst du schon, wie die Ableitung aussieht.

Edit: Nur, weil du unsicher schienst, wie du g nun ableiten kannst.

Edit2:

Zitat:

Erfüllt folgende Funktion alle gewünschten Eigenschaften?

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} x^2 \sin(x^{-1}) & \text{für } x\neq 0\\ x & \text{für } x=0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Nein. Das ist äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} x^2 \sin(x^{-1}) & \text{für } x\neq 0\\ 0 & \text{für } x=0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Folglich ist die Ableitung f'(0) = 0.

14.11.2010, 10:12

Huy

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Wozu die Multiplikation mit der Zwei? verwirrt

verwirrt

MfG

//e: Ich bin immer noch unsicher, da f(x) halt eine Fallunterscheidung beinhaltet...

14.11.2010, 10:17

gonnabphd

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Zitat:

Wozu die Multiplikation mit der Zwei? verwirrt

verwirrt

Gute Frage. Das Problem ist, dass die Funktion ohne die Multiplikation mit 2 injektiv ist.

Wie könntest du nun zeigen, dass das so definierte g in keiner Umgebung von 0 injektiv ist? Hast du eine Idee?

Edit: Zur Ableitungsgeschichte:
$\begin{eqnarray*} f'(x) = \begin{cases} 2x \sin(x^{-1}) - \cos(x^{-1}) & x \ne 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} g'(x) = \begin{cases} 4x \sin(x^{-1}) - 2\cos(x^{-1}) + 1 & x \ne 0 \\ 1 & x = 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

14.11.2010, 10:22

Huy

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Zitat:

Original von gonnabphd
Gute Frage. Das Problem ist, dass die Funktion ohne die Multiplikation mit 2 injektiv ist.

Das verstehe ich nicht. Also, ich verstehe, was du mir mitteilen willst, aber wie kann eine Funktion f(x) injektiv sein und 2*f(x) nicht? Wenn ich mir den Graphen der beiden Funktionen anschaue, sehe ich auch keinen relevanten Unterschied...

Zitat:

Wie könntest du nun zeigen, dass das so definierte g in keiner Umgebung von 0 injektiv ist? Hast du eine Idee?

Indem ich in jeder beliebigen Umgebung von 0 ein y finde, mit y = f(x1) und y = f(x2) mit x1 != x2?

MfG

14.11.2010, 10:30

gonnabphd

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Zitat:

Indem ich in jeder beliebigen Umgebung von 0 ein y finde, mit y = f(x1) und y = f(x2) mit x1 != x2?

Ja, das ist eine Möglichkeit, aber sehr umständlich. Kannst es ja mal versuchen!

Eine andere Möglichkeit wäre, sich die Ableitung in der Umgebung von 0 anzuschauen und daraus Rückschlüsse auf Injektivität oder Nicht-injektivität zu ziehen.

Zitat:

Das verstehe ich nicht. Also, ich verstehe, was du mir mitteilen willst, aber wie kann eine Funktion f(x) injektiv sein und 2*f(x) nicht? Wenn ich mir den Graphen der beiden Funktionen anschaue, sehe ich auch keinen relevanten Unterschied...

Wir betrachten hier aber g(x) = 2f(x) + x. Deshalb ist die Multiplikation von f(x) mit 2 bedeutsam. Es stärkt den Einfluss, den f(x) auf den ganzen Term hat, macht die Oszilation grösser.

14.11.2010, 10:33

Huy

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Was IST jetzt g(x) effektiv?

$\begin{eqnarray*} g(x) = \begin{cases} 2 \cdot (x^2 \sin(x^{-1})) + x & x \ne 0 \\ x & x = 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Das macht für mich irgendwie keinen Sinn. Denn vorhin hast du bei meinem f(x) argumentiert, dass dies äquivalent mit

$\begin{eqnarray*} g(x) = \begin{cases} 2 \cdot (x^2 \sin(x^{-1})) + x & x \ne 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

ist und die Ableitung bei x = 0 daher 0 und nicht 1 ergibt. Oder reden wir die ganze Zeit aneinander vorbei? Sorry für meine Blindheit...

Inwiefern hängt Injektivität mit der Ableitung zusammen? Oder muss ich das selber rausfinden?

MfG

14.11.2010, 10:45

gonnabphd

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Zitat:

Was IST jetzt g(x) effektiv?

$\begin{eqnarray*} g(x) = \begin{cases} 2 \cdot (x^2 \sin(x^{-1})) + x & x \ne 0 \\ x & x = 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Ja. Genau so wollen wir g definieren. Ich denke es ist klar, dass für x=0 dann g(x) = x = 0 ist. Man es also auch schreiben kann als

$\begin{eqnarray*} g(x) = \begin{cases} 2 \cdot (x^2 \sin(x^{-1})) + x & x \ne 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Zitat:

... und die Ableitung bei x = 0 daher 0 und nicht 1 ergibt.

Beim f ist das so, ja. Beim g haben wir aber noch den Zusatzterm +x. Die Ableitung hängt nicht nur vom Wert an der Stelle ab, sondern auch von den Werten in der Umgebung: z.B. ist die Ableitung von der Identitätsabbildung

$\begin{eqnarray*} x \mapsto x \end{eqnarray*}$

(insbesondere an der Stelle 0) = 1, aber die Ableitung von $\begin{eqnarray*} x \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ ist an der Stelle 0, = 0. Beide Funktionen haben aber den Funktionswert 0 an der Stelle 0.

Ähnlich ist das auch bei f(x) und g(x): Die Funktionswerte an der Stelle 0 sind 0, aber die Ableitungen sind nicht gleich.

Zitat:

Inwiefern hängt Injektivität mit der Ableitung zusammen? Oder muss ich das selber rausfinden?

Hmm, wenn eine stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv ist, dann muss sie entweder streng monoton wachsen oder fallen.
Was schliesst man daraus für die Ableitung?

14.11.2010, 10:56

Huy

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Ganz ehrlich: Ich verstehe den genauen Unterschied noch immer nicht ganz, warum man zu f(x) für x != 0 ein x addieren muss. Wenn x gegen 0 geht, dann geht der Funktionswert ja immer noch gegen 0, egal ob man x addiert oder nicht?

Zitat:

Hmm, wenn eine stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv ist, dann muss sie entweder streng monoton wachsen oder fallen.
Was schliesst man daraus für die Ableitung?

Ganz spontan: Die Ableitung ist überall positiv bzw. negativ.

MfG

14.11.2010, 11:05

gonnabphd

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Zitat:

Ganz ehrlich: Ich verstehe den genauen Unterschied noch immer nicht ganz, warum man zu f(x) für x != 0 ein x addieren muss. Wenn x gegen 0 geht, dann geht der Funktionswert ja immer noch gegen 0, egal ob man x addiert oder nicht?

Ja, für den normalen Limes stimmt das. Es geht aber hier um die Ableitung.

Vielleicht wirds so klarer:

$\begin{eqnarray*} g'(0) &=& \lim_{x \to 0} \frac{g(x) - g(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{(2f(x) + x) - (2f(0) + 0)}{x - 0} \\ &=& \lim_{x \to 0} \frac{2f(x) -2 f(0)}{x - 0} + \lim_{x \to 0} \frac{x - 0}{x - 0} = 2 \left( \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} \right) + \lim_{x \to 0} \frac{x - 0}{x - 0} = 2f'(0) + 1 \end{eqnarray*}$

Und da wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} f'(0) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt also $\begin{eqnarray*} g'(0) = 0+ 1 =1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Ganz spontan: Die Ableitung ist überall positiv bzw. negativ.

Fast, ersetzte positiv durch nichtnegativ und negativ durch nichtpositiv (Sattelpunkte!).

14.11.2010, 11:17

Huy

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Ok, und weil die Ableitung von g(x) sinus und cosinus (in dieser Form) beinhaltet, ist sie nicht überall nichtnegativ oder nichtpositiv. Wie spezifiziere ich dies nun für jede Epsilon-Umgebung um 0?

MfG

14.11.2010, 11:25

gonnabphd

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Du musst in jeder Umgebung zwei Punkte x, y finden, so dass $\begin{eqnarray*} g'(x) > 0, g'(y) < 0 \end{eqnarray*}$ ausfällt.

Sei also $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ beliebig. Finde zwei solche Punkte $\begin{eqnarray*} x,y \in (-\epsilon, \epsilon) \end{eqnarray*}$ . Nutze die Periodizität von sin und cos.

14.11.2010, 11:27

Huy

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Noch eine voraussichtlich letzte Frage:
Wie beweise ich, dass injektiv äquivalent umkehrbar ist? Ich sehe es schon, aber ich weiss halt nicht, inwiefern wir das voraussetzen dürfen...

MfG

14.11.2010, 11:34

gonnabphd

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$\begin{eqnarray*} f: U \to f(U) \end{eqnarray*}$ ist umkehrbar (auf U) genau dann, wenn es eine Funktion $\begin{eqnarray*} g: f(U) \to U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g \circ f = Id_U, f \circ g = Id_{f(U)} \end{eqnarray*}$ gibt.

So eine Funktion g gibt es genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} f: U \to f(U) \end{eqnarray*}$ bijektiv ist.
Und wegen der Wahl der Bildmenge ist $\begin{eqnarray*} f: U \to f(U) \end{eqnarray*}$ genau dann bijektiv, wenn f injektiv ist.

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