Gleichung mit Matrizen lösen

13.11.2010, 23:35

Habals

Gleichung mit Matrizen lösen

Meine Frage:
Ich möchte eine Gleichung mit Matrizen lösen, verstehe aber die Umformungsschritte nicht ganz.
Ich habe eine Gleichung: Eta = Eta0 -a1*X-A2*X^2

Dabei habe ich viele Werte für Eta sowie X. Eta0 a1 und A2 sind gesucht.

Meine Ideen:
Mit Matrizen ausgedrückt kann ich ja jetzt sagen:

Vektor N(Eta1 Eta2 Eta3) = Matrix M[1 X1 X1^2; 1 X2 X2^2; 1 X3 X3^2]* Vektor V(Eta0 -a1 -A2)

Mein Mathelehrer hat mir gesagt, dass ich die folgende Gleichung zu lösen habe:

(M^T*M)^(-1)*M^T*N = V

(entschuldigt bitte die Schreibweise, bin zum ersten mal im Forum, M^T habe ich für transponierte Matrix M gesetzt)

Ich verstehe die Umformungsschritte nicht. Kann mir jemand helfen?

14.11.2010, 00:48

lgrizu

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RE: Gleichung mit Matrizen lösen
okay, das ist übelst unleserlich und ehrlich gesagt habe ich keine ahnung, was du zeigen oder berechnen willst....

versuche das ganze mal mit latex zu schreiben, dabei kan dir der formeleditor (klick) helfen, den dort erstellten latex code packst du in latex-tabs, die folgendermaßen aussehen:

code:
1:	[latex] hier kommt der code hin [/latex]

14.11.2010, 20:29

aleph_math

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RE: Gleichung mit Matrizen lösen

Zitat:

Original von Habals
... Ich habe eine Gleichung: Eta = Eta0 -a1*X-A2*X^2
...[wo] Eta0, a1 und A2 gesucht sind.
Mit Matrizen ausgedrückt ..:
Vektor N(Eta1 Eta2 Eta3) = Matrix M[1 X1 X1^2; 1 X2 X2^2; 1 X3 X3^2]* Vektor V(Eta0 -a1 -A2)

... folgende Gleichung zu lösen :
(M^T*M)^(-1)*M^T*N = V ...

Wenn ich die Gl. richtig entziffere, nämlich $\begin{eqnarray*} (M^T*M)^{-1}*M^T*\vec N = \vec V \end{eqnarray*}$ hat's der liebe Hr. Prof. ein wenig zu gut gemeint unglücklich

Die Transponierte M^T ist hier überflüssig!

Von Anfang.. "Übersetzen" wir zunächst:
Ausgangsgl.: $\begin{eqnarray*} \vec\eta = \eta_0 -a_1*\vec x-a_2*\vec x^2<br /> \end{eqnarray*}$ , in Koordin.:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&-x_1&-x_1^2\\1&-x_2&-x_2^2\\1&-x_3&-x_3^2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\eta_0\\a_1\\a_2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\eta_1\\\eta_2\\\eta_3\end{pmatrix} \Rightarrow \bold{M}\cdot\vec v= \vec\eta \end{eqnarray*}$ .

Damit wäre die (prinzip.) Lösung :
$\begin{eqnarray*} (\bold{M}^{-1}\cdot\bold{M})\cdot\vec v= \bold{M}^{-1}\cdot\vec\eta \Rightarrow \vec v= \bold{M}^{-1}\cdot\vec\eta \end{eqnarray*}$ .

Prinzipiell ist das eine sehr elegante Lösung eines LGS, das Problem steckt jedoch wie so oft im Detail, hier die Bildung der inversen Matrix. Soweit ich mich erinnere, kommt hierbei die Transponierte ins Spiel, auf jeden Fall aber die Determinante. "Zu Fuß" ist das nicht ohne, also lieber mit (gutem!) TR o. gleich PC (Excel?).

Aber selbst dann wird hier nicht das Gewünschte 'rauskommen, denn die Gl. hat grundsätzl. Mängel:
1) Skalare & Vektoren zu mischen, ist problematisch bis falsch; schwerer wiegt aber
2) das x^2! Wenn x (wie in der Matrix) ein Vektor ist, ist (normalerw.) $\begin{eqnarray*} \vec x^2=\vec x\cdot\vec x \end{eqnarray*}$ das Skalarprodukt u. das ist, wie schon der Name sagt, KEIN Vektor!
Aber auch wenn man x^2 als Vektorprodukt $\begin{eqnarray*} \vec x^2=\vec x\times\vec x \end{eqnarray*}$ auffaßt, sind dessen Kompon. NICHT $\begin{eqnarray*} x_i^2 \end{eqnarray*}$ !
Die Matrix stimmt so also nicht!

Nochmal Matrix bzw. Quadrat prüfen! Wink

24.11.2010, 16:52

Habals

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Habe mich geirrt! Entschuldigung! Es sind immer Matrizen.

Bei mir sieht es so aus:

$\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{c} \eta_1 \\ \eta_2 \\ \eta_n \end{array} \right) = \begin{pmatrix} 1&X_1&(X_{1})^2\\1&X_2&(X_{2})^2\\1&X_n&(X_{n})^2 \end{pmatrix} \cdot \left( \begin{array}{c} \eta_0 \\ -a1 \\-A2 \end{array} \right) \end{eqnarray*}$

umgeformt wie mein Lehrer es mir sagte also so:

$\begin{eqnarray*} (M^{T} \cdot M)^{(-1)} \cdot M^{T} \cdot N= \left( \begin{array}{c} \eta_0 \\ -a_1 \\ -A_2 \end{array} \right) \end{eqnarray*}$

Aber ich habe noch eine Frage:

$\begin{eqnarray*} \eta = \eta_{0} - a1 \cdot X - a2 \cdot G \cdot X^{2} \end{eqnarray*}$

Kann ich G ( dafür habe ich viele Werte) ebenfalls mit einem Rechenschritt bestimmen?
Ich habe eben einfach -a2 * G = -A2 gesetzt und es so ausgerechnet.

Die Formel zu oberst stimmt auf jeden Fall, wenn ich mit der Lösung vergleiche.

Vielen Dank für eure Antworten!!

24.11.2010, 16:54

Habals

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Entschuldigt nochmals. Ich habe die zweite Gleichung gemeint, welche sicher stimmt. Ich habe sie so in Matlab eingefügt und das hat funktioniert. In Excel weiss ich nicht wie man das anstellen könnte.

Ich freue mich auf eure Antworten!

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