Konvergenz je nach Lp-Norm

14.11.2010, 10:32

Mathematikgraz

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Konvergenz je nach Lp-Norm

Meine Frage:
Für welche p\in[0,\infty[
\bruch{1}{\wurzel{|x|^{2}+((\bruch{1}{k}))^{2}}} \to \bruch{1}{|x|}
für k \to \infty
bezüglich der L^{p}-Norm?

Meine Ideen:
Mein Problem ist, dass ich nicht verstehe wie die Konvergenz mit der Norm zusammenhängt, da ja für k gegen unendlich der Term 1/k sowieso gegen 0 geht unabhängig von der norm.
sind hier nur die grenzfällen p=\infty und p=1 interessant und machen probleme?!

Danke für eure hilfe!!!

lg

14.11.2010, 10:48

Mathestudent3

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RE: Konvergenz je nach Lp-Norm
Für welche p aus [0,unendlich[

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{|x|^{2}+(\frac{1}{k})^{2} }} \end{eqnarray*}$

gilt für k gegen unendlich

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{|x| } \end{eqnarray*}$

bezüglich der Lp-Norm?

Habe die Formel jetzt noch mal geschrieben, da ich probleme mit dem editor hatte!

14.11.2010, 10:55

gonnabphd

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Hi,

Für $\begin{eqnarray*} p < 1 \end{eqnarray*}$ sind die "p-Normen" gar keine Normen, soviel ich weiss.

Um welchen Massraum gehts denn?

Sei $\begin{eqnarray*} f_k(x) = \frac{1}{\sqrt{|x|^{2}+(\frac{1}{k})^{2} }} \end{eqnarray*}$
Die Frage ist:

Für welche p gilt:

$\begin{eqnarray*} \Vert f_k - \frac 1 {|x|} \Vert_p = \left( \int_X \left \vert f_k(x)- \frac 1 {\vert x \vert} \right \vert^p \dx \right)^{1/p} \; \overset{k \to \infty}{\longrightarrow} 0 \end{eqnarray*}$

14.11.2010, 11:10

Mathestudent3

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bist du dir sicher, dass das so gemeint ist?
könnte es nicht sein, dass der autor nur die norm beim x meint und nicht von der ganzen funktion?!
und welche norm nimm ich jetzt für x an?

EDIT: und du hast recht ich meine p>0. man soll sich aber überlegen für welches p der zusammenhang gilt!

14.11.2010, 11:26

gonnabphd

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Zitat:

könnte es nicht sein, dass der autor nur die norm beim x meint und nicht von der ganzen funktion?!

Ich verstehe nicht. Wie ist denn bei euch die p-Norm definiert? Die Frage ist doch für welche p konviergt das Teil in der p-Norm gegen 1/|x|.

14.11.2010, 11:30

Mathestudent3

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es kann sein, dass ich die angabe falsch verstehe:

Für welche p aus [1,unendlich[ gilt:
........ (Hier steht der Zusammenhang, bei k gegen unendlich)

bezüglich der Lp-Norm?

Ich habe bis jetzt immer gedacht, dass man verschiedene normen für |x| nehmen soll. wenn ich die norm vom |x| als fix annehme welche ist es dann? die p=2 norm?

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14.11.2010, 11:50

gonnabphd

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Ich denke du verstehst die Aufgabe falsch.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{|x|^{2}+(\frac{1}{k})^{2} }} \end{eqnarray*}$ meint normalerweise die Funktion $\begin{eqnarray*} x \mapsto \frac{1}{\sqrt{|x|^{2}+(\frac{1}{k})^{2} }} \end{eqnarray*}$

ähnlich für 1/|x|.

|x| ist der normale Betrag.

14.11.2010, 11:53

Mathestudent3

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ok danke, das erklärt schon mal einiges!

kann ich jetzt die integrale in summen umschreiben und wie mit der p norm rechnen? ich tu mir bei dem bsp immer noch schwer weil ich einfach den zusammenhang zwischen der norm und dem grenzwert nicht sehe!

14.11.2010, 12:14

gonnabphd

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Ich glaube du hast grundsätzliche Verständnisprobleme L^p \ne l^p

14.11.2010, 12:34

Mathestudent3

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das heißt ich muss jetzt einfach "nur" das integra für verschiedene pl lösen und mir überlegen für welche lösungen k gegen unendlich diesen grenzwert gibt?!

die grenzen des integral sind schon von -unendlich bis unendlich. ich werde das ganze mal im eindimensionalen fall rechen weil die anderen wohl analog gehen oder?!

14.11.2010, 12:37

gonnabphd

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Zitat:

die grenzen des integral sind schon von -unendlich bis unendlich.

Das Problem ist, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{|x|} \notin L^p(-\infty, \infty) \end{eqnarray*}$ für jedes p...

Post doch mal den genauen Wortlaut, irgendwas scheint mir hier faul zu sein...

14.11.2010, 12:45

Mathestudent3

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die erste antwort wo ich alles schön mit den formeln geschrieben habe ist der genau wortlaut.
der unterschied ist nur, dass statt k gegen unendlich ein pfeil steht über dem das steht und ich nicht weiß wie man den hier zeichnen kann.
sonst ist es wort für wort gleich!
eine idee?

14.11.2010, 13:05

gonnabphd

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Wenn das wirklich alles ist (und es auch keine erste Teilaufgabe gibt oder frühere Aufgaben bzw. in eurer Vorlesung nur ganz bestimmte $\begin{eqnarray*} L^p \end{eqnarray*}$ -Räume behandelt wurden), dann ist die Aufgabe grottenschlecht gestellt.

Aber ich bezweifle ein wenig, dass das wirklich der Fall ist. Von hier aus kann ich aber nicht mehr dazu sagen, ohne Infos...

14.11.2010, 13:50

Mathestudent3

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Ok schade aber danke für die hilfe. es gibt wirklich keine weitere teilaufgabe, die sich damit befasst. es ist auch eigentlich eine vorlesung zu partielle differential gleichungen. ich denke da hat er sich ein bsp zu normen überlegt und es einfach schlecht formuliert!

wieso glaubst du eigentlich, dass dein hinweis mit dem integrieren nicht stimmmt?

14.11.2010, 14:07

gonnabphd

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Zitat:

wieso glaubst du eigentlich, dass dein hinweis mit dem integrieren nicht stimmmt?

Die Frage ist ja, für welche p eine Folge in $\begin{eqnarray*} L^p \end{eqnarray*}$ gegen 1/|x| konvergiert. Das impliziert schonmal, dass $\begin{eqnarray*} \frac 1{|x|} \in L^p \end{eqnarray*}$ . Aber

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty \frac 1{|x|^p} \; dx = \infty \qquad \forall \, p \in [0, \infty) \end{eqnarray*}$

(entweder scheiterts am unbeschränkten Teil $\begin{eqnarray*} \int_1^\infty \end{eqnarray*}$ oder am beschränkten Teil $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \end{eqnarray*}$ )

14.11.2010, 16:17

Mathestudent3

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ja verstehe das problem. und du glaubst sicher nicht, dass sich die verschiedenen normen auf den term |x| beziehen?! nur da seh ich halt keinen unterschied für de konvergenz!

14.11.2010, 16:30

gonnabphd

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Zitat:

und du glaubst sicher nicht, dass sich die verschiedenen normen auf den term |x| beziehen?!

Das macht nicht wirklich Sinn. Im übrigen gäbe es auch für x ähnliche Probleme mit der Konvergenz.

verwirrt

verwirrt

*ratlos*

14.11.2010, 16:40

Mathestudent3

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naja wenigstens bin ich nicht der einzige der ratlos ist smile

smile

aber was mir eingefallen ist. mit dem cauchyschen hauptwert erhalte ich doch, dass das integral von 1/|x| konvergiert zwischen -unendlich und unendlich oder? zwar würde ich da doch 0 rausbekommen. weil ln(unendlich)-ln(0)=0 ist oder?

14.11.2010, 16:57

gonnabphd

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Zitat:

weil ln(unendlich)-ln(0)=0 ist oder?

Also erstens sind diese beiden Werte nicht definiert und wenn man mit $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ rechnen könnte, dann gäbe das ganze $\begin{eqnarray*} \infty - (-\infty) = \infty \end{eqnarray*}$ ... Aber eine solche Manipulation von Symbolen sagt nichts aus, unendlich ist keine Zahl. unglücklich

unglücklich

14.11.2010, 18:32

Mathestudent3

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ok verstehe. naja bin mal gespannt was der denkfehler ist.
nochmals danke für deine bemühungen!!

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